संख्याओं पर आधारित प्रश्न

*संख्याओं पर आधारित प्रश्न

उदाहरण 1 . किसी संख्या का 30 % यदि 12 . 6 हो , तो संख्या ज्ञात कीजिए ?
  हल : माना अभीष्ट संख्या = x , तब , x का 30 % = 12 . 6
   अर्थात x x 30/100= 12 . 6
   अर्थात x = [ 12 . 6x 10/3= 42
अतः अभीष्ट संख्या = 42 .

उदाहरण 2 . किसी संख्या का 40 % , संख्या के 3/5भाग से 15 कम है । संख्या का 60 % क्या होगा ?
हल : माना अभीष्ट संख्या = x . तब , 3x/5 -x का 40 % = 15
अर्थात 3x/5 - x x40/100= 15
अर्थात 3x/5 - 2x/5 = 15
अर्थात x= 75
  इस संख्या का 60 % = ( 75x60/100 ) = 45 .
 
उदाहरण 3 . एक संख्या 38 से उतनी अधिक है जितनी 80 से कम  यह संख्या क्या है?
हल : माना अभीष्ट संख्या = x . तब , x- 38 = = 80 -x 
अर्थात x = 59
अतः अभीष्ट संख्या = 59

उदाहरण 4 . किसी संख्या के 60 % का 35 % यदि 10 . 5 हो , तो संख्या क्या है ?
हल : माना अभीष्ट संख्या = x . तब xका 60 % का 35 % = 10 . 5
  अर्थात x x 60/100 ×35 / 100 = 21/2
  अर्थात x x  21/100 = 21/2
  अर्थात  x = ( 21/2 x100 /21 ) = 50
   अतः अभीष्ट संख्या = 50

उदाहरण 5  दो संख्याओं के वर्गों योग 557 है तथा इन संध्याओ का गुणनफल 266 है । संख्यायें ज्ञात कीजिए ? हल: माना अभीष्ट संख्यायें × तथा y हैं ।
तब , x/2 + y/2= 557 तथा xy = 266
:( x + y ) = hqrt ( x/2 + y/2 ) + 2xy
=hqrt 557 + 532 = 33
तथा ( x - y ) = hqrt (×/2 + y/2 )- 2xy
  =hqrt 557 - 532  = 5
   x + y = 33 तथा x - y = 5 को हल करने पर : x= 19 तथा y = 14 .
अतः अभीष्ट संख्यायें 19 तथा 14 हैं ।

उदाहरण 6 . किसी भिन्न के अंश तथा हर में से प्रत्येक में 1 जोड़ देने पर 2/3  प्राप्त होता है । इस भिन्न के अंश तथा हर में से प्रत्येक से 1 घटाने पर  1/2 प्राप्त होता है । भिन्न क्या है ?
हल : माना अभीष्ट भिन्न x/y है ।
तब ,  x + 1/ y + 1 = 2/3
तथा x -1/ y - 1= 1 / 2
अर्थात 3 ( x + 1 ) = 2 ( y + 1 )
तथा 2 ( x  - 1 ) = ( y - 1 )
अर्थात 3x - 2y = - 1 तथा 2 x - y = 1
इन्हें हल करने पर : x = 3 तथा y = 5
अतः अभीष्ट भिन्न = 3/5

उदाहरण 7 . दो अंकों से बनी एक संख्या के अंकों का योग 9 है । इस संख्या में से 63 घटाने पर इसके अंक पलट जाते हैं । संख्या ज्ञात कीजिए ?
हल  माना संख्या का दहाई अंक = × तब , इकाई अंक = ( 9 - X )
: 10x + ( 9 - x ) - 63 = 10 ( 9 - x) + x
अर्थात् 18  x = 144
अर्थात x = 8
: दहाई अंक = 8 तथा इकाई अंक = ( 9 - 8 ) = 1
  अतः अभीष्ट संख्या = 81 .


उदाहरण 8 . किसी संख्या 783 से भाग देने पर 48 शेष बचता है । उसी संख्या को 29 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा ?
हल : दी गई संख्या को 783 से भाग देने पर ,
माना भागफल = Q तब
दी गई संख्या= ( 783 Q + 48 ) = ( 29 x 27Q ) + ( 29 x 1 ) + 19
  = 29 x ( 27Q + 1 ) + 19
   अतः दी गई संख्या को 29 से देने पर , शेषफल = 19

उदाहरण 9 . एक संख्या दुसरी संख्या के 3 गुने से 2 अधिक है । छोटी संख्या का 6 गुना बड़ी संख्या से 1 अधिक हैं । संख्यायें ज्ञात कीजिए ?
हल : माना बड़ी संख्या = x तथा छोटी संख्या = y
तब x - 3y = 2 तथा 6y - x = 1
इन्हें हल करने पर x  = 5 तथा y = 1
बड़ी संख्या = 5 , छोटी संख्या = 1

उदाहरण 10  दो संख्यायें इस प्रकार हैं कि पहली संख्या के तिगुने तथा दूसरी संख्या के दुगुने का योग 127 है जबकि पहली संख्या के 5 गुने तथा दूसरी संख्या के 4 गुने का अन्तर 43 है । संख्यायें ज्ञात कीजिए ?
  हल : माना अभीष्ट संख्यायें x तथा y हैं ।
  तथा 3x + 2y = 127
  तथा 5x - 4y = 43
  इन्हें हल करने पर : x  = 27 तथा y = 23
   अतः अभीष्ट संख्यायें 27 तथा 23 हैं ।


                     ( वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर )

1 दो संख्याओं का अन्तर 11 है तथा उनके योग का 1/5 भाग 9  है ये संख्यायें हैं ?
( a ) 31 , 20                 ( b ) 30 , 19
( C ) 29 , 18                 ( d ) 28 , 17       ( d )
                                                        (  रेलवे परीक्षा )
हल: ( a - b ) = 11 , 1/5( a + b ) = 9 = a + b = 45
a - b = 11, a + b
= 45 को हल करने पर : a = 28 , b = 17 ,

2:  दो संख्याओं के वर्गों का योग 3341 तथा इनके वर्गों का अन्तर 891 है । ये संख्यायें हैं :
( a ) 25 , 46                ( b ) 35 , 46
( c ) 25 , 36              ( d ) इनमें से कोई नहीं     ( b )
                                            ( होटल मैनेजमैंट परीक्षा )
हल a/2 + b/2 = 3341 , a/2 - b/2
= 891 को हल करने पर : a/2= 2116 , b/2 = 1225
  :;a = hqrt 2116 = 46
   b = hqrt 1225 = 35
    अतः अभीष्ट संख्यायें हैं : 35 तथा 46 .

3 दो संख्याओं को अन्तर बड़ी संख्या के 20 % के बराबर है । यदि छोटी संख्या 12 हो तो बड़ी संख्या क्या होगी ?
( a ) 16                        ( b ) 15
( c ) 18                       ( d ) 20                  ( b )
                                             ( असिस्टेंट ग्रेड , परीक्षा )
हल: माना बड़ी संख्या = x
तब , ( x - 12 ) = 20x/100
अर्थात x = 15
  अतः बड़ी संख्या = 15

4: दो संख्याओं का अन्तर 623 है । यदि बड़ी संख्या 932 हो , तो छोटी संख्या क्या है?
( a )299                           ( b )309
( c )311                           ( d ) 329            ( b )  
                                          ( सी0 बी0 आई0 परीक्षा )
हल: माना छोटी संख्या = ×
तब , 932 - x = 623
अर्थात = ( 932 - 623 ) = 309


5  तीन क्रमागत विषम संख्याओं में से दो का योग तीसरी संख्या से 5 अधिक हैं । इन संख्याओं में से दूसरी संख्या क्या है ?
( a ) 5                                  ( b ) 7 
( c ) 9                                  ( d ) 11        ( c )
                                            ( बैंक पी0 ओ0 परीक्षा )
हल: माना अभीष्ट संख्यायें x , x + 2 तथा x+ 4 हैं ।
x + x + 2 = x + 4 + 5 अर्थात x = 7 , अतः दूसरी संख्या = x + 2 =9

6: एक संख्या को अपने दस गुना के साथ जोङने पर 264 प्राप्त होता है । यह संख्या है ?
( a ) 20                             ( b ) 22
( c ) 24                            ( d ) 26              ( c )
                                               ( यू0 डी0 सी0 परीक्षा )
हल: x +10 ×=264 =× =24

औसत

औसत
औसत=(दिये गये परिमाणों का योग /  परिमाणों की कुल संख्या )

साधित उदाहरण

उदाहरण 1 . किसी विद्यार्थी के हिन्दी , अंग्रेजी तथा गणित में प्राप्तांक क्रमशः 63, 37 तथा 56 हैं । उसके औसत प्राप्तांक ज्ञात कीजिए ।
हल : औसत प्राप्तांक = ( 63 + 37 + 56 ) /3
=156 /3
=52
उदाहरण 2 . एक रिक्शा चालक की एक सप्ताह के दिनों में आय क्रमशः 29 . 80 रु0 , 31 . 60 रु0 , 27 . 30 रु0 , 29  .  40 रु , 27 रु0 , 40 रु0 तथा 10 . 90 रु0 रही । इस सप्ताह की उसकी औसत दैनिक आय क्या है ?

हल : 7 दिनों की कुल आय
= ( 29 . 80 + 31 . 60 + 27 . 30 + 29 . 40 + 27 + 40 + 10 . 90 ) रु0 = 196 रु0
औसत दैनिक आय = ( 96/7 ) रु0 = 28 रु



उदाहरण 3 . एक चरवाहे ने 13 भेड़ें तथा 9 बकरियों कुल 12860 रू0 में खरीद । यदि एक भेड का औसत मूल्य 740 रु0 हो , तो एक बकरी का औसत मूल्य क्या होगा ? हल : 13 भेड़े तथा 9 बकरियों का कुल मूल्य = 12860 रु0
13 भेड़ों का कुल मूल्य = ( 740 x 13 ) रु0 = 9620 रु0  9 बकरियों का कुल मूल्य = ( 12860 - 96200 रु0 = 3240 .
एक बकरी का औसत मूल्य =  ( 3240/9 )रु0 = 360 रु0 

उदाहरण 4 . एक कक्षा के 34 छात्रों का औसत भार 46 . 5 किग्रा0 है । यदि अध्यापक का भार भी सम्मिलित कर लिया जाये तो औसत भार 500 ग्राम बढ़ जाता है । अध्यापक का भार ज्ञात कीजिये ।
  हल : 34 छात्रों का कुल भार = ( 34x46 . 5 ) किग्रा0 = 1581 किग्रा0
   ( 34 छात्रों + अध्यापक ) का औसत भार = ( 46 . 5 + ( 0 . 5 ) = 47 किग्रा )
   ( 34 छात्रों + अध्यापक ) का कुल भार = ( 35x47 ) किग्रा ) = 1645 किग्रा )
    अध्यापक का भार = ( 1645 – 1581 ) = 64 किग्रा0 
   
उदाहरण 5 . किसी वर्ष में एक परिवार का प्रथम 3 महीनों में औसत मासिक खर्च 4200 रु0 , अगले 4 महीनों में 5040 रु0 तथा अन्तिम 5 महीनों में 5304 रू0 है । यदि वर्ष के अन्त में कुल बचत 4320 रु0 हो , तो पूरे वर्ष की औसत मासिक आय ज्ञात कीजिये ।

हल : पूरे वर्ष का कुल खर्च = ( 4200 x 3 + 5040x4 + 5304x5 ) रु ) = 59280 रु )
वार्षिक बचत = 4320 रु
कुल वार्षिक आय = ( 59280 + 4320 ) रु0 = 63600 रु0
  औसत मासिक आय = 63600/12 रु ) = 5300रू 
 
उदाहरण 6 . एक कक्षा के 24 विद्यार्थियों में से 6 की औसत ऊँचाई 1 मी0 15 सेमी है ; 8 की औसत ऊँचाई 1 मीटर 5 सेमी0 है तथा शेष विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 1 मी ) 11 सेमी ) है । इन सभी विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई कितनी है ?
हल : 24 छात्रों की कुल ऊँचाई = ( 6 x 115 + 8 x 105 + 10x111 ) सेमी = 2640 सेमी
औसत ऊँचाई = [ 2640/24 सेमी0 = 110 सेमी0 = 1 मी0 10 सेमी

उदाहरण 7 , क्रिकेट के एक खिलाड़ी ने 16 पालियों में कुछ रन बनाये । 17 वीं पाली में उसने 87 रन बनाये तथा इससे उसकी औसत रन संख्या पहले से 3 रन अधिक हो गई । 17 वीं पाली के बाद खिलाड़ी की औसत रन संख्या कितनी है ?
हल : माना 17 पालियों की औसत रन संख्या = x
16 पालियों की औसत रन संख्या = ( x - 3 )
17 वीं पाली की रन संख्या = 17x - 16 ( x - 3 ) = + x  48
  x + 48 = 87 अथवा  x = 39
  अतः 17 पालियों की औसत रन संख्या = 39 .
 
उदाहरण 8  11 परिणामों का औसत 50 है । यदि प्रथम छः परिणामों का औसत 49 हो तथा अन्तिम छः का औसत 52 हो , तो छठा परिणाम ज्ञात कीजिये १
हल : 11 परिणामों का कुल परिमाण = ( 11x50 ) = 550
प्रथम 6 परिणामों का कुल परिमाण = ( 6x49 ) = 294  अन्तिम 6 परिणामों का कुल परिमाण = ( 6x52 ) = 312 छठा परिणाम = ( 294 + 312 - 550 ) = 56


उदाहरण 9 . एक नाब के 10 नाविकों में से 58 किग्रा ) के भार वाले एक नाविक के स्थान पर नया व्यक्ति आ जाने से इनके औसत भार में 1 . 5 किग्रा ) की वृद्धि हो जाती है । नये नाविक का भार क्या है ?
हल : भार में कुल वृद्धि = ( 10x1॰5 ) किग्रा0 = 15 किग्रा
नये नाविक का भार = ( 58 + 15 ) किग्रा = 73 किग्रा

उदाहरण 10 . आठ व्यक्तियों की एक समिति में 35 वर्ष तथा 45 वर्ष के दो सदस्यों स्थान पर दो स्त्रियों को लिये जाने से समिति के सदस्यों की औसत आयु में 2 वर्ष की वृद्धि  हो जाती है । इन दो स्त्रियों की औसत आयु क्या है ? हल : आयु में कुल वृद्धि = ( 8 x 2 ) वर्ष = 16 वर्ष
दोनों स्त्रियों की कुल आयु = ( 35 + 45 + 16 ) वर्ष = 96 वर्ष
इन स्त्रियों की औसत आयु = ( 96 /2 वर्ष = 48 वर्ष


उदाहरण 11 , सोम , मंगल तथा बुध का औसत तापमान 40°c था । मंगल , बुध तथा वृहरपति का औसत तापमान 41°c   था । यदि बृहस्पति का तापमान 38°c रहा हो तो सोम का तापमान कितना था ?
हल : सोम , मंगल , बुध का कुल तापमान = ( 40x3 ) = 120 °C
मंगल , बुध , बृहस्पति का कुल तापमान = ( 41 × 3 ) = 123°c
बृहस्पति का तापमान = 38°c
सोम का तापमान = ( 120 + 38 - 123 ) = 35°C

उदाहरण 12 , छः सदस्यों के एक परिवार की औसत आय 27 वर्ष है । यदि सबसे छोटे सदस्य की आय 7 वर्ष हो तो परिवार के अन्य सदस्यों की औसत आयु सबसे छोटे सदस्य के जन्म पर क्या थी ?
हल : 6 सदस्यों की अब कुल आयु = ( 6x27 ) वर्ष = 162 वर्ष
7 वर्ष पूर्व सभी सदस्यों की कुल आयु= 162 - 6x7 = 120 वर्ष
उस समय सबसे छोटे सदस्य का जन्म नहीं हुआ था , अतः परिवार के सदस्यों की संख्या 5 थी ।
उस समय परिवार की औसत आयु = ( 120/5) वर्ष = 24 वर्ष ।

उदाहरण 13 . 7 वर्ष पूर्व शादी के समय पति एवं पत्नि की औसत आयु 25 वर्ष थी अब पति , पत्नि तया एक बच्चे की औसत आयु 22 बर्ष है । बच्चे की आयु कितनी है ?
हल : 7 वर्ष पूर्व पति तथा पत्नि की कुल आय = ( 25x2 } = 50 वर्ष
अब , पति तथा पत्नि की कुल आयु = [ 50 + ( 7x2 ) ] वर्ष = 64 वर्ष
अब , पति , पत्नि एवं बच्चे की कुल आयु = ( 3x22 ) वर्ष = 66 वर्ष
बच्चे की अब आयु = ( 66 - 64 ) वर्ष = 2 वर्ष ।

उदाहरण 14 . एक स्थान A से दूसरे स्थान B तक एक मोटरसाईकिल सवार की औसत गति 65 किमी प्रति घण्टा है तथा B से A तक आने में इसकी औसत गति 60 किमी0 अति घण्टा है । पूरी यात्रा में उसकी औसत गति क्या है ?  हल : माना A से B  तक की दूरी =  x किमी0
कुल यात्रा की दूरी = 2 x किमी०
कुल यात्रा  में लगा समय  = ( x/ 65+ x /60 )=25x/780 =   5x/156 घण्टे
:कुल यात्रा में औसत चाल =( 2x ×156/5x )किमी॰/घण्टा =62•4 किमी॰/घण्टा
संक्षिप्त विधि : पूरी यात्रा में औसत चाल =  ( 2xy /x + y किमी0 / घण्टा
=( 2×65×60/125 )किमी॰/घण्टा=62•4किमी॰/घण्टा ।


                     ( वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर )


1.  11 , 23 तघा x का औसत 40 है । xका मान क्या है ?
( a ) 6                           ( b) 40
( c ) 86                       ( d )120           ( c )  
                                             ( एन0 डी0 ए0 परीक्षा )
हल: 11 + 23 + x/3 = 40
अर्थात x = ( 120 - 34 ) = 86

2 . पाँच संख्याओं का औसत ( - 5 ) है । यदि इनमें से तीन संख्याओं का योग 15 हो , तो शेष दो संख्याओं का औसत कितना है ?
( a ) 8                           ( b ) - 8
( c ) 20                         ( d ) - 20      ( d )
                                                        (रेलवे परीक्षा )
हल:  पाँच संख्याओं का कुल योग = ( - 5 ) x5 = - 25  तीन संख्याओं का योग = 15
शेष 2 संख्याओं का योग = ( - 25 ) - 15 = - 40
इन संख्याओं का औसत =  (- 40/2)
= - 20


3:     3 के प्रथम नौ गुणजों का औसत क्या है ?
( a ) 12                          ( b ) 18 . 5
( c ) 12.5                      ( d ) 15       ( d )
                                           ( आयकर विभाग परीक्षा  )
हल: 3 के प्रथम नौ गुणों का योग = 3 ( 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 )
=( 3x9x10/2 ) = 135
इन संख्याओं का औसत = 135/9 =15


4: 12 . 5 , 11 . 75 , 9 . 5 , 8 . 5 तथा 7 का औसत क्या है ?
( a ) 9 . 85                ( b ) 10 . 05
( c ) 10 .65               ( d ) 10.  75            ( a )
                                             ( असिस्टेन्ट ग्रेड ,परीक्षा )
हल:  दी गई संख्याओं का औसत = (12.5+11.75+9.5+8.5+7 /5) =49.25/5
=9.85

5:  चार संख्याओं में से प्रथम तीन का औसत 15 है तथा अन्तिम तीन का औसत 16 है । यदि अन्तिम संख्या 19 हो , तो प्रथम संख्या क्या है?
( a ) 15                        ( b ) 16                            ( c ) 18                         ( d ) 19             ( b )
                                              ( दिल्ली पुलिस परीक्षा )
हल:  ( I + II + III ) = ( 3x15 ) = 45 ,
( II + III + IV ) = ( 3x16 ) = 48 .
घटाने पर ( IV ) - ( I ) = 3
  अर्थात 19 - ( D ) = 3 अथति 1 = 16 .


6:  1/2, 2/2, 3/2,4/2,5/2, 6/2, 7/2 का औसत क्या है?
( a ) 40                             ( b ) 20
( c ) 30                            ( 10 ) 10         ( b )
                                            ( यू  डी0 सी0 परीक्षा )
हल: 1/2+2/2+3/2+...+n/2=n( n+1) (2n+1 )/6
इसमें n = 7 रखने पर : 1 /2+ 2/2 + 3 /2 + . . . + 7/2 =(7×8×15/6 )=140
अभीष्ट औसत =  140/7 = 20


7: प्रथम पाँच परिणामों का औसत परिमाण 46 है तथा इनमें से प्रथम चार का औसत परिमाण 45 है । पाँचवा परिणाम क्या है ?
( a) 1                             ( b ) 10 
( c ) 12 . 5                    ( d ) 50           ( d )
                                           ( क्लर्कस ग्रेड परीक्षा )
हल: पाँचवा परिणाम = ( 5x46 - 4x45 )
= 50



8: आठ संख्याओं का औसत 14 है । इनमें से छः संख्याओं का औसत 16 हैं । शेष दो संख्याओं का औसत क्या है ? 
( a ) 4                           ( b ) 8                              ( c ) 16                   ( d ) ऑकड़े अपयार्पत      ( b )
                                              ( बैंक पी0 ओ0 परीक्षा )
हल: शेष दो संख्याओं का औसत = ( 8x14 - 6 x 16 ) /2
=16/2 =8

9: एक कक्षा की औसत आयु 15 . 8 वर्ष है । यदि कक्षा के लड़कों की औसत आयु 16 . 4 वर्ष तथा लड़कियों की औसत आयु 15 . 4 वर्ष हो , तो कक्षा में लड़के तथा लड़कियों का अनुपात क्या है ?
( a ) 1 : 2                    ( b ) 3 : 4                       ( c ) 3 : 5              ( d ) इनमें से कोई नहीं       ( d )
                                           ( होटल मैनेजमैंट परीक्षा )
हल: माना अभीष्ट अनुपात = k : 1 तब ,
( kx 16 . 4 ) + ( 1 x 15 . 4 ) = ( k + 1 ) x 15 . 8 अर्थात k=2/3
अभीष्ट अनुपात = 2/3: 1 अर्थात 2 : 3

10: एक समिति 8 सदस्यों की औसत आयु 40 वर्ष थी । एक 55 वर्षीय सदस्य के सेवानिवृत्त होने पर इसके स्थान पर एक 39 वर्षीय व्यक्ति इस समिति का सदस्य बन जाता है । वर्तमान समिति की औसत आयु क्या है ?
( a ) 39 वर्ष                ( b ) 38 वर्ष
( c ) 36 वर्ष                 ( d ) 35वर्ष           ( b )
                                             ( अध्यापक वर्ग परीक्षा )
हल: वर्तमान समिति के सदस्यों की कुल आय ( 40x8 - 55+39 )= 304 वर्ष
इस समिति की औसत आयु = 304/8 वर्ष
= 38वर्ष

रेलगाडी से सम्बंधित प्रश्न

   रेल सम्बन्धी प्रश्न  (Question Based On Rail/Train with Short Tricks)


(1) x किमी प्रति घण्टा = ( x * ×5/18) मीटर प्रति सैकण्ड

(2 )x मीटर प्रति सैकण्ड =( x*x18 /5) किमी0 प्रति घण्टा

(3 ) × मीटर लम्बी रेलगाड़ी द्वारा एक खड़े व्यक्ति अथवा खम्भे को पार करने में लगा समय = अपनी चाल से × मी0 दूरी तय करने में लगा समय ।

(4) × मीटर लम्बी रेलगाड़ी द्वारा y मीटर लम्बी स्थिर वस्तु ( जैसे : प्लेटफार्म , पुल , सुरंग , खड़ी गाड़ी आदि ) को पार करने में लगा समय
= ( x + y ) मीटर दूरी तय करने में लगा समय ।

(5) माना किसी रेलगाड़ी की चाल x किमी0 प्रतिघण्टा है तथा इसी की दिशा में कोई चलायमान वस्तु y किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रही है । तब गाड़ी की उस वस्तु के सापेक्ष चाल = ( x - y ) किमी प्रति घण्टा ।

(6) माना किसी रेलगाड़ी को चाल x किमी0 प्रति घण्टा है तथा इसकी विपरीत दिशा में कोई चलायमान वस्तु y किमी0 प्रति घण्टा की चाल से आ रही है । तब , गाड़ी की उस वस्तु के सापेक्ष चाल = ( x + y ) किमी प्रति घण्टा ।

(7) माना a मीटर लम्बी रेलगाड़ी x मीटर प्रति सैकण्ड की चाल से जा रही है तथा b मीटर लम्बी रेलगाड़ी इसी की दिशा में समान्तर पटरी पर y मीटर प्रति सैकण्ड की गति से जा रही है । तब , तेज गाड़ी द्वारा दूसरी गाड़ी को पार करने में लगा समय = ( a+ b/x-y ) सै0 ।


(8) माना  a मीटर लम्बी रेलगाड़ी × मीटर प्रति सैकण्ड की चाल से जा रही है  तथा b मीटर लम्बी रेलगाड़ी इसकी विपरीत दिशा में y मीटर प्रति सैकण्ड की गति से जा रही है तब , इन गाड़ियों द्वारा एक दूसरे को पार करने में लगा समय = ( à + b /x + y ) सै0

( 9 ) माना एक रेलगाड़ी की लम्बाई a मीटर है । यह रेलगाड़ी x मीटर प्रति सैकण्ड की गति से जा रही है । एक व्यक्ति y मीटर प्रति सै0 की दर से गाड़ी की दिशा में दौड़ रहा है ।  इस व्यक्ति को पार करने में गाड़ी द्वारा लिया गया समय =  a /( x - y ) सै0 ।

( 10 )माना एक रेलगाड़ी की लम्बाई a मीटर है । यह रेलगाड़ी x मीटर प्रति सैकण्ड की गति से जा रही है । एक व्यक्ति y मीटर प्रति सै0 की दर से गाड़ी की विपरीत दिशा में दौड़ रहा है । इस व्यक्ति को पार करने में गाड़ी द्वारा लिया गया समय = a / ( x + y )


( साधित उदाहरण ):-

उदाहरण 1 . 81 किमी0 प्रति घण्टा की चाल को मीटर प्रति सैकण्ड में बदलिये ।
हल : 81 किमी 0/ घण्टा = ( 81 *x 5/18 ) मी0 सै0 = 22 . 5 मी०सै० ।

उदाहरण 2 . 24 मीटर प्रति सै0 की चाल को किमी0 प्रति घण्टा में बदलिये ।
  हल :  24 मी0 / से 0) = (  24 *x 18/5 )किमी0 / घण्टा = 86 . 4 किमी 0/ घण्टा ।
 
उदाहरण 3 . 60 किमी0 प्रति घण्टा की रफ्तार से जा रही 75 मीटर लम्बी रेलगाड़ी एक बिजली के खम्भे को कितनी देर में पार कर लेगी ?
  हल : गाड़ी की चाल = ( 60 *x 5/18  ) मी0 सै0/  = ( 50 /3 ) मी0 / सै०
   खम्भे को पार करने में लगा समय = 75 मीटर दूरी तय करने में लगा समय =(  75 *x 3 /50 )सै0
   = 4 . 5 सै0  ।

उदाहरण 4 . 490 मीटर लम्बी रेलगाड़ी 63 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से , 210 मीटर लम्बी गुफा को कितनी देर में पार कर लेगी ?
हल : गाड़ी की चाल = ( 63* x5/18 ) मी0 सै 0) =35/2 मी०सै०
  गुफा को पार करने में लगा समय = ( 490 + 210 ) मी0 दूरी तय करने में लगा समय = 700*×2/35 सै0
  = 40 सै0
 
उदाहरण 5 , 62 किमी प्रति घण्टा की रफ्तार से जा रही 120 मीटर लम्बी रेलगाड़ी उसी दिशा में 8 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से भागे जा रहे व्यक्ति को कितनी देर में पार कर लेगी ।
  हल : गाड़ी की व्यक्ति के सापेक्ष चाल = ( 62 - 8 ) किमी0 / घण्टा
  =(  54* x5/18 ) मी0 /सै०
  व्यक्ति को पार करने में लगा समय = 120 मीटर दूरी को 15 मी०सै० की दर से तय करने में लगा समय
  = ( 120*x1/15 ) सै0 = 8 सैकण्ड ।

उदाहरण 6 . 165 मीटर लम्बी रेलगाड़ी 58 किमी0 प्रति घण्टा की रफ्तार से जा रही है । उसके सामने से रेलगाड़ी की विपरीत दिशा में एक व्यक्ति 8 किमी प्रति घण्टा की चाल से भागा आ रहा है । रेलगाड़ी इस व्यक्ति को कितनी देर में पार कर लेगी ?
हल : रेलगाड़ी की आपेक्षिक चाल ( व्यक्ति के सापेक्ष ) = 66 किमी0 / घण्टा
( 66 *x 5/18 ) मी0/ सै० = ( 55/3 ) मी0 / सै0 रेलगाड़ी की लम्बाई = 165 मीटर
व्यक्ति को पार करने में लगा समय
=55/3 मी०सै० की दर से 165 मी0 दूरी तय करने में लगा समय
  = (165*X3/55 ) सैकण्ड = 9 सैकण्ड ।
 
उदाहरण 7 . 126 मीटर तथा 14 मीटर लम्बी दो रेलगाड़ियों विपरीत दिशाओं में क्रमानुसार 30 किमी0 प्रति घण्टा तथा 42 किमी प्रति घण्टा की चाल से जा रही हैं । मिलने के  कितने समय बाद वे एक दूसरे को पार कर लेंगी ?
हल : रेलगाड़ियों की लम्बाई का योग = ( 126 + 114 ) मी0 = 240 मी0
आपेक्षिक चाल = 72 किमी0 / घण्टा = ( 72*x 5/18) मी0 /सै0
= 20 मी0 /सै0
: अभीष्ट समय =( 240/20 ) सै0 = 12 सै0

उदाहरण 8 . एक रेलगाड़ी 120 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को 12 सैकण्ड में पार करती है । तथा एक खम्भे को 2*3/5 सैकण्ड में । रेलगाड़ी की चाल तथा लम्बाई ज्ञात कीजिए । हल : माना रेलगाड़ी की लम्बाई ×मीटर है
तब , ×/( 12/5) = ×+120/12
अर्थात 5×/12 =×+120/12
अर्थात × = 30
: गाड़ी की लम्बाई = 30 मीटर
गाड़ी की चाल = ( 30X 5 /12 )मी0 /सै0
= ( 25/2 × 18/5 )किमी0 / घण्टा
= 45 किमी 0/ घण्टा ।


उदाहरण 9 . 100 मीटर लम्बी एक रेलगाड़ी अपनी विपरीत दिशा से 5 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से अपनी ओर जाते हुए व्यक्ति को 6 सैकण्ड में पार कर जाती है । गाड़ी की चाल क्या है ?
  हल : माना गाड़ी की चाल ×  किमी प्रति घण्टा है
   गाड़ी की आपेक्षिक चाल ( व्यक्ति के सापेक्ष ) = ( x + 5 ) किमी0 / घण्टा
   = ( x + 5 * × 5/18 ) मी0 / सै०
   :: 100/ (× +5 )* ×5/18 = 6
   अर्थात 30 x + 150 = 1800
   अर्थात  × = 55
     अतः गाड़ी की चाल 55 किमी प्रति घण्टा हैं ।
    
उदाहरण 10 . 50 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रही रेलगाड़ी द्वारा सफर कर रहा एक व्यक्ति यह अनुभव करता है कि उसकी विपरीत दिशा से आ रही एक मालगाड़ी उसे 9 सेकण्ड में पार कर जाती है । यदि मालगाड़ी 150 मीटर लम्बी हो , तो इसकी चाल ज्ञात कीजिए ।
हल : रेलगाड़ी की आपेक्षिक चाल ( मालगाड़ी के सापेक्ष ) =( 150 /9 ) मी0 सै0
= ( 150/9 × 18/ 5किमी0 / घण्टा
= 60 किमी / घण्टा
मालगाड़ी की चाल = ( 60 - 50 ) किमी0 / घण्टा
= 10 किमी0 / घण्टा

उदाहरण 11 , 54 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रही एक रेलगाड़ी एक प्लेटफार्म को 20 सेकण्ड में पार कर जाती है । यही रेलगाड़ी अपनी ही दिशा में 6 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से भागे जा रहे व्यक्ति को 12 सैकण्ड में पार कर जाती है । गाड़ी की लम्बाई तथा प्लेटफार्म की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल : गाड़ी की चाल = ( 54 *x 5/18 )मी0 सै0
  = 15 मी0/सै0
  व्यक्ति के सापेक्ष चाल = ( 54 - 6 ) किमी0 / घण्टा
  = 48 किमी / घण्टा
   =(  48* x 5/18 )मी0/सै0
   40/3= मी०सै०
    माना गाड़ी की लम्बाई = × मीटर
    तब , ×/*( 40/3 ) = 12
   अर्थात ×= 160 मीटर
    माना प्लेटफार्म की लम्बाई =y  मीटर
    तब , = 160+y/15 =20
   अर्थात  y = 140 मीटर
    गाड़ी की तम्बाई = 160 मीटर
    प्लेटफार्म की लम्बाई = 140 मीटर

उदाहरण 12 , 25 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से आ रही रेलगाड़ी एक प्लेटफार्म को 18 सैकण्ड में पार करती है तथा जिस दिशा में रेलगाड़ी जा रही है उसी दिशा में 5 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रहे व्यक्ति को 13 . 5 सैकण्ड में पार करती है । रेलगाड़ी एवं प्लेटफार्म की लम्बाई ज्ञात करो ।
हल : रेलगाड़ी की व्यक्ति के सापेक्ष चाल = ( 25 - 5 ) किमी0 / घण्टा
= ( 20 *x5/18 )  मी०सै०
= 50 / 9 मी0सै0
रेलगाड़ी की लम्बाई = ( 50/9 × 27/2 ) मीटर
  = 75 मीटर
   माना प्लेटफार्म की लम्बाई = × मीटर
   रेलगाड़ी की चाल = ( 25*x5 /18 ) मीटर / सै0
   = 125/18 मीटर / सै०
   : ( 75 + × /18 ) = 125/18
  अर्थात × = 50
   अतः प्लेटफार्म की लम्बाई = 50 मीटर
  
उदाहरण 13 . दो रेलगाड़ियाँ जो एक दूसरे की विपरीत दिशा में क्रमशः 75 किमी0 प्रति घण्टा तया 60 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रही हैं , एक दूसरे को 8 सैकण्ड में पार कर जाती हैं । जब वे एक ही दिशा में जाती हैं तो तेज गाड़ी में बैठा हुआ एक यात्री अनुभव करता है कि वह दूसरी गाड़ी को 30 सेकण्ड में पार कर लेता है । गाड़ियों
की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए ।
हल : गाड़ियों की आपेक्षिक चाल = ( 75 + 60 ) किमी 0/ घण्टा
= ( 135*x/5/18 ) मीटर /सै0
= 75 मीटर / सै0
  इस चाल से 8 सैकण्ड में तय की गई दूरी ( 75/2*×8 ) = 300 मीटर
  :दोनों गाड़ियों की लम्बाई का योग = 300 मीटर
   एक दिशा में जाते हुए तेज गाड़ी की दूसरी गाड़ी के सापेक्ष चाल
    = ( 75 - 60 ) किमी0 / घण्टा
    = ( 15 * ×5/18 )मी0/सै0
   25 / 6 मी0 /सै0
  इस चाल से 30 सै0 में तय की गई दूरी
  = ( 25/6 *×30 ) मीटर
  = 125 मीटर
  धीमी चलने वाली गाड़ी की लम्बाई = 125 मीटर
  दूसरी गाड़ी की लम्बाई = ( 300 - 125 ) मीटर
  = 175 मीटर


   ( वस्तुनिष्ठ प्रश्न )

(1) 30 मीटर प्रति सैकण्ड की गति से जा रही 270 मीटर लम्बी रेलगाड़ी , 180 मीटर लम्बे पुल को पार करने में कितना समय लेगी ?
( a ) 6 सैकण्ड             ( b ) 3 सैकण्ड
( c ) 9 सैकण्ड             ( d ) 15 सैकण्ड       ( d )
                                               ( दिल्ली पुलिस परीक्षा )
हल: अभीष्ट समय = ( 270 + 180 /300 ) सै0
0= 15 सै०

( 2)  270 मीटर लम्बी रेलगाड़ी टेलीफोन के एक खम्भे को 18 सैकण्ड में पार कर जाती रेलगाड़ी की चाल कितनी है ?
( a ) 35 किमी 0/ घण्टा     ( b ) 41 किमी0/ घण्टा
( c ) 45 किमी0/घण्टा       ( d ) 54 किमी0/घण्टा  ( d )                                                                                                   
                                             ( एन0 डी0 ए0 परीक्षा )
हल: रेलगाड़ी की चाल = (270/18 ) मी0/सै0
= (15x*18/5 ) किमी0 / घण्टा
= 54 किमी / घण्टा

( 3 ) 110 मीटर लम्बी रेलगाड़ी 132 किमी0 प्रति घण्टा की गति से दौड़ रहीं है । यह रेलगाड़ी 165 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को पार करने में कितना समय लेगी ?
( a ) 5 सै0                     ( b ) 7.5  सै0
( c ) 10 सै0                   ( d )15 सै0              ( b )
                                              ( असिस्टंट ग्रेड परीक्षा )
हल: गाड़ी की चाल = ( 132*x5/18 ) मीटर/ सै0
= 110 मीटर सैo
अभीष्ट समय = ( 110 + 165 *x 3/110 )सै0
= ( 275 *x 3 /110 ) सै0
= 7 . 5 सै०

(4)  एक रेलगाड़ी एक खम्भे को 15 सैकण्ड में तथा 100 मीटर लम्बे प्लेटफार्म के 25 सैकण्ड में पार कर जाती है । गाड़ी की लम्बाई कितनी है ?
( a ) 200 मीटर           ( b ) 150 मीटर
( c ) 50 मीटर         ( d ) आंकड़े अपर्याप्त    ( b )
                                        ( बैंक0 पी0 ओ0  परीक्षा )
हल: माना गाड़ी की लम्बाई =  x मीटर
तब ×/15 =×+100/25
अर्थात × =150 मीटर
 
(5) 150 मीटर लम्बी रेलगाड़ी एक 300 मीटर लम्बी सुरंग को 40 . 5 सैकण्ड में पार कर जाती है । गाड़ी की चाल किमी0 / घण्टा में है ।
( a ) 13 . 33                ( b ) 26 . 67
( c ) 40                       ( d ) 81 12 से       ( c )
                                            ( आयकर विभाग परीक्षा )
हल: गाड़ी की चाल = ( 150 + 300 /40•5 ) मीटर/ सै0 = ( 100/9 ×18/5 ) किमी0/ घण्टा
= 40 किमी0 / घण्टा

(6)एक रेलगाड़ी 162 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को 18 सैकण्ड में तथा एक दूसरे 120 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को 15 सैकण्ड में पार कर जाती है । रेलगाड़ी की लम्बाई कितनी है ?
( a ) 70 मीटर              ( b ) 80 मीटर
( c ) 90 मीटर              ( d ) 100 मीटर          ( c )
                                           ( सी० डी० एस०परीक्षा )
हल: माना रेलगाड़ी की लम्बाई =×  मीटर
तब × + 162 /18
=× + 120/15
  अर्थात = 90 मीटर

(7) एक व्यक्ति 1 किमी0 लम्बे पुल से गुजरती हुई रेलगाड़ी को देखता है । गाड़ी की लम्बाई पुल की लम्बाई से आधी है । यदि रेलगाड़ी पुल को 2 मिनट में पार करे तो गाड़ी की चाल क्या है ?
( a ) 30 किमी0 / घण्टा    ( b ) 45 किमी0 / घण्टा
( c ) 50 किमी / घण्टा      ( d ) 60 किमी / घण्टा ( b )
                                            ( होटल मैनेजमैंट परीक्षा )
हल: गाड़ी की लम्बाई = 500 मीटर ,
पुल की लम्बाई = 1000 मीटर
गाड़ी की चाल =( 500 + 1000 /120 )मीटर/सै0
=( 25/2 × 18/5 )किमी0/ घण्टा
= 45 किमी0/घण्टा

(8) 150  मीटर लम्बी एक रेलगाड़ी अपने से विपरीत दिशा में आ रही 100 मीटर लम्बी रेलगाड़ी को 10 सेकण्ड में पार कर जाती है । यदि पहली गाड़ी की चाल 30 किमी0 प्रति घण्टा हो , तो दूसरी रेलगाड़ी की चाल क्या है ?
( a ) 36 किमी 0/घण्टा  ( b ) 54 किमी0/ घण्टा
( c ) 60 किमी0/घण्टा   ( d ) 72 किमी 0/ घण्टा ( c )
                                                     ( रेलवे  परीक्षा )
हल: माना दूसरी गाड़ी की चाल × किमी0प्रति घण्टा है।
पहली गाड़ी की आपेक्षिक चाल ( दूसरी गाड़ी के सापेक्ष ) = ( 30 + ×) किमी0 / घण्टा
= ( 30 + × )*5/18 x मीटर / सैकण्ड
( 150 + 100 /10) = ( 30 + ×) x5 /18
अर्थात x = 60 किमी 0/ घण्टा


(9) 42 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रही 180 मीटर लम्बी रेलगाड़ी द्वारा अपनी ही दिशा में 6 किमी0 प्रति घण्टा की चाल से जा रहे व्यक्ति को पार करने में कितना समय लगेगा ?
( a ) 18 सै0                   ( b ) 21 सै0
( c ) 24 सैo                  ( d ) 25 सै0            ( a )
                                             ( क्लर्कस ग्रेड  परीक्षा )
हल: रेलगाड़ी की व्यक्ति के सापेक्ष चाल = ( 42 - 6 ) किमी0 / घण्टा
= ( 36 *x5/18 ) मीटर / सै0
= 10 मीटर / सैo
व्यक्ति को पार करने में लगा समय = ( 180 /10 )सै0
  = 18 सै0

महाजनी बट्टा

( महाजनी बट्टा )

कई बार एक व्यापारी दूसरे व्यापारी से उधार माल खरीदता है तथा इसका भुगतान हुण्डी द्वारा करता है । हुण्डी एक प्रकार का बिल है जिसमें अंकित धनराशि को खरी एक निश्चित समय के अन्त में चुकाने का लिखित वायदा करता है । इस पर पीटा अपने हस्ताक्षर करके विक्रेता को वापिस कर देता है । हुण्डी को लिखित तिथि के तीन दिन बाद , जिन्हें रियायती दिन कहते हैं , भुनाया जा सकता है ।
 

यदि माल विक्रेता को हुण्डी की अवधि समाप्त होने से पहले धन चाहिए तो वह इसे बैंकर को बेच देता है । बैंकर देय धन पर शेष समय का व्याज ( जिसे महाजनी बड़ा कहते हैं ) , काट कर हुण्डी का भुगतान कर देता है ।
 
-( महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा ) = महाजनी लाभ 

-महाजनी बट्टा = देय धन पर ब्याज ।

-Mathematics Formua ( सूत्र  ) :

( 1 ) महाजनी बट्टा = शेष समय के लिए बिल पर ब्याज ।

( 2 ) महाजनी लाभ = ( महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा )  = मिती काटा पर सा0 ब्याज  = ( मिती काटा)*/2/तत्काल घन
(3) महाजनी बट्टा =  देय धन x दर x समय / 100

( 4 )  मिती काटा =  hqrt तत्काल धन x महाजनी लाभ 

(5) देय धन =( महाजनी बट्टा) ×(मिती काटा ) / (महाजनी बट्टा) - (मिती काटा )
(6) मिती काटा = महाजनी लाभ ×100 /दर × समय


उदाहरण 1 : 20600 रु0 का एक बिल ( अर्थात हुण्डी ) 15 जुलाई , 1995 को 5 माह के लिए लिखा गया तथा 6 अक्तूबर , 1995 को 15 % की दर से भुना लिया गया महाजनी बट्टा , मिती काटा तया महाजनी लाभ ज्ञात कीजिए । यह भी ज्ञात कीजिए कि विक्रेता को कितना धन प्राप्त हुआ ।
हल : देय धन = 20600 रु0
बिल लिखे जाने की तिथि = 15 जुलाई 1995 ( 5 माह के लिए )
देय तिथि = 15 दिसम्बर 1995
  शुद्ध देय तिथि = 18 दिसम्बर 1995
  बिल भुनाये जाने की तिथि = 6 अक्तूबर  1995
  शेष समय = 6 अक्तूबर 1905 से 18 दिसम्बर 1905 तक
   =( 25 + 30 + 18 ) दिन = 73 दिन = 1/5 वर्ष
  महाजनी बट्टा = 20600 रु0 पर 15 % वार्षिक दर से 1/5वर्ष का ब्याज
  = ( 20600x15 x 1/5 × 1/100 ) = 618 रु0
   मिती काटा = 20600 ×* 15 × 1/5  / 100 + ( 15 * × 1/5 ) =600रू0
  महाजनी लाभ = ( महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा ) = 18 रु0
  विक्रेता को मिला धन = ( देय धन ) - ( महाजनी लाभ ) = 20582 रु0

उदाहरण 2 : 12 . 5 % वार्षिक दर से 6 माह बाद देय किसी पन पर मिती काटा 360 रु0 है । इसी दर पर तथा इतने ही समय के लिए महाजनी बट्टा क्या होगा ?
हल : महाजनी लाभ = मिती काटा पर सा0 ब्याज
= ( 360* x25/2 × 1/2 ×1/100 )रु0
= 22 . 50 रु0
( महाजनी बट्टा ) = ( मिती काटा ) + ( महाजनी लाभ )
= 382 . 50 रु0

उदाहरण 3 :   8 माह बाद देय किसी धन का महाजनी बट्टा तथा मिती काटा क्रमशः 1300 स0 तथा 1200 रु0 हैं । देय धन तथा दर प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।
हल: देय धन = ( महाजनी बट्टा ) X ( मिती काटा ) /
( महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा )
= ( 1300x1200 ) /  ( 1300 - 1200 )
= 15600 रू0
परन्तु महाजनी बट्टा देय धन पर साधारण ब्याज है ।
::15600 रू0 पर 2/3 वर्ष का साधारण व्याज = 1300 रु0
:  ब्याज की दर = 100 x 1300 / 15600*×2/3
= 12*1/2%

उदाहरण 4 : 9 माह बाद देय धन पर मिली काटा 2100 रु0 है तथा इतने ही धन पर उसी दर से 2*1/2 वर्ष का साधारण ब्याज 1735 रु0 है । देय धन या ब्याज की  दर ज्ञात कीजिए ।
हल : देय धन पर 5/2 वर्ष का सा0 ब्याज= 7735 रु0  देय धन पर 9 माह का सा0 ब्याज = [ 7735x2/5 ×3/4 ]रु0
= 2320 . 50 रु0
महाजनी बट्टा = 2320 . 50 रु०
देय धन =  ( महाजनी बट्टा ) X ( मिती काटा ) / ( महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा )
= 220 . 50 × 2100 /220•50 रू0
= 22100 रू0
परन्तु महाजनी बट्टा देय धन पर सा0 ब्याज है ।
अतः 22100 रु0 पर 3 / 4 वर्ष का सा0 ब्याज = 2320 . 50 रु0
ब्याज की दर = 100 × 2320•50 /( 22100* × 3/4 )
= 14 %


उदाहरण 5 : 1800 रु0 पर 12 % वार्षिक दर से किसी निश्चित समय का महाजनी बट्टा तथा इसी दर पर , इतने ही समय के लिए 1872 रु0 पर मिती काटा बराबर हैं समय ज्ञात कीजिए ।
हल : 1800 रु0 पर सा0 ब्याज = 1872 रु0 पर मिती काटा
अर्थात 1872 रु0 का वर्तमान मूल्य 1800 रू0है ।  1800 रु0 पर 12 % वार्षिक दर से सा0 ब्याज = 72 रु0  समय =( 100x72 / 1800 × 12 )वर्ष
= 1/3 वर्ष = 4 माह ।


उदाहरण 6 : एक निश्चित समय बाद देय किसी धन का वर्तमान मूल्य 28900  रू0 तथा मिती काटा 850 रु0 है । महाजनी बट्टा तथा महाजनी लाभ ज्ञात कीजिए ।
  हल : मिती काटा =  hqrt तत्काल धन X महाजनी लाभ  महाजनी लाभ =(मिती काटा ) /2*/ ( तत्काल धन ) 
  =850 × 850/ 28900 = 25रू0
  महाजनी बट्टा = ( मिती काटा + महाजनी लाभ ) = 875 रु0

उदाहरण 7 : एक निश्चित समय बाद देय 2028 रू0 पर महाजनी बट्टा 169 रू0 है । मिती काटा तथा महाजनी लाभ ज्ञात कीजिए ।
हल: देय धन = " ( महाजनी बट्टा ) × ( मिती काटा )/ महाजनी बट्टा ) - ( मिती काटा )
=  महाजनी बट्टा  ×  मिती काटा /महाजनी लाभ
अर्थात मिती काटा / महाजनी लाभ
=देय धन / महाजनी बट्टा
=2028/169 =12/1
  यदि महाजनी लाभ 1 रु0 है , तो मिती काटा = 12 रु0 , महाजनी बट्टा = 13 रु0
  यदि महाजनी बट्टा 13 रु0 है , तो मिती काटा = 12 रु0 यदि महाजनी बट्टा 169 रु0 है , तो मिती काटा =( 12/13* x 169 = 156 रू0
   महाजनी लाभ = ( 169 - 156 ) रु0 = 13 रु0 ।


उदाहरण 8 : व्यापारी अपने 10 माह बाद देय बिल का नकद भुगतान देने में 10 % काट लेता है । उसे किस दर से ब्याज मिलेगा ?
हल : माना देय धन = 100 रु0
काटा गया धन = 10 रु0
  बिल रखने वाले व्यापारी को अभी प्राप्त होगा = 90 रु0  90 रु0 पर 10/12 वर्ष का सा0 व्याज = 10 रु0
  ब्याज की दर = ( 100 ×10 / 90×* 10 /12 )%
  = 13*1/3 %



                     ( वस्तुनिष्ठ प्रश्न ) 

1 . 16200 रु0 के बिल पर मिती काटा 270  रू0 है । इस बिल पर महाजनी बट्टा क्या होगा ?
( a ) 360 रू0            ( b ) 324रू0
  ( c )310रू0             ( d ) 336रू0       ( b )
                                            ( आयकर विभाग परीक्षा )
हल: तत्काल धन = ( 1620 - 270 ) रु0 = 1350 रु0  1350 रु0 पर सा0 ब्याज = 270 रु0
1620 रु0 पर सा0 ब्याज = 270/1350* x1620 रु0
= 324 रु0
  महाजनी बट्टा = 324 रु0

2:  1वर्ष बाद देय किसी धन पर 12 % वार्षिक दर से मह्मजनी लाभ 60 रु0 है । इस धन पर मिती काटा क्या होगा ?
( a ) 500 रु0             ( b ) 720 रु0
( c ) 480 रु0             ( d ) 540 रु0          ( a )
                                               ( दिल्ली पुलिस परीक्षा )
हल: महाजनी लाभ , मिती काटा पर सा0 ब्याज है
: मिती काटा = ( 60X100/12×1 )
= 500 रु0

लाभ तथा हानि

  ( लाभ तथा हानि )


1 क्रय - मूल्य : जिस मूल्य पर कोई वस्तु खरीदी जाती है वह मूल्य इस वस्तु का क्रय - मूल्य कहा जाता है ।

2 विक्रय - मूल्य : जिस मूल्य में कोई वस्तु बेची जाती है वह मूल्य इस वस्तु का विक्रय - मूल्य कहा जाता है ।

3 लाभ = ( विक्रय मूल्य ) - ( क्रय मूल्य )

4 हानि = ( क्रय मूल्य ) - ( विक्रय मूल्य )

नोट : लाभ अथवा हानि सदैव क्रय - मूल्य पर गिने जाते हैं ।

सूत्र  (Mathematics Formula ) :-
1 यदि क्रय मूल्य =× रु0 , लाभ = 20 % तो वि0 मू0 = ( x का 120 %)

2 यदि क्रय मूल्य = ×रु0 , हानि = 15 % तो वि0 मू0 = (× का 85% )

3 लाभ % =( लाभ × 100/ क्रय मूल्य ) %

4हानि % =( हानि × 100 / क्रय मूल्य ) %

5 यदि वि0 मू0 =×  रु0 , लाभ = 15 % तो क्रय मूल्य = ( 100/115× × )रू॰

6 यदि वि0 मू0 = × रु0 , हानि = 15 % तो क्रय मूल्य = (100/85× × )रू॰

7  बट्टा सदैव अंकित मूल्य पर होता है ।


साधित उदाहरण Derivative example :-

उदाहरण 1 :  राम ने एक गाय 8250 रु0 में खरीद कर 4 % लाभ पर बेच दी । गाय का विक्रय - मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल : गाय का विक्रय मूल्य = 8250 रु0 का 104 %
= ( 8550×104/100 )रू॰
= 8580 रू॰

उदाहरण 2 :  किशन ने एक कुर्सी 490 रु0 में खरीद कर 5 % हानि पर बेच दी कुर्सी  का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल : कुर्सी का विक्रय मूल्य = 490 रु0 का 95%
= ( 490 x95/100 )
= 465 . 50 रु0

उदाहरण 3 . एक मेज को 517 रु0 में बेचने से 10 % लाभ होता है । मेज का क्रय - मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल: मेज का क्रय - मूल्य = ( 100 /110 ×517 )रु0
  = 470 रु0


उदाहरण 4 . एक हीटर को 585 रु0 में बेचने से 10 % हानि होती है । हीटर का क्रय- मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल : हीटर का क्रय - मूल्य = ( 100/90×585 )रु0
= 650 रु0

उदाहरण 5 . एक घड़ी को 1440 रु0 में बेचने पर एक व्यक्ति को 10 % हानि होती है । । वह इसे कितने रुपये में बेचे की उसे 15 % लाभ हो ।
हल : ( संक्षिप्त विधि):-
माना नया वि० मू0 = × रू0
  ( 1600 - हानि ' % ) : ( प्रथम वि0 मू0 ) : : ( 100 + लाभ % ) : ( द्वितीय वि0 मू0 )
  अर्थात ( 100 - 10 ) : 1440 : : ( 100 + 15 ) : ×अर्थात 90 : 1440 : : 115 : ×
   ( 1440x115 /90 ) = 1840
    अतः अभीष्ट वि0 मु0 = 1840 रु0

उदाहरण 6 . एक साईकिल को 2070 रु0 में बेचने से एक व्यक्ति को 15 % लाभ होता है । वह इसे कितने रुए में बेचे कि उसे 25 % लाभ हो ?
हल : ( संक्षिप्त विधि ) : -
माना नया विक्रय मूल्य =× रु0
तब , ( 100+ 15 ) : 2070 : : ( 100+ 25 ) : × अर्थात 115 ; 2070 : ; 125:×
:× =( 2070 x 125 /115 )= 2250
अतः अभीष्ट विक्रय मूल्य = 2250 रू0

उदाहरण 7 . किसी वस्तु को 1024 रु0 में बेचने से दुकानदार को 20 % हानि होती हैं । इस वस्तु को 1472 रु0 में बेचने से कितने प्रतिशत लाभ होगा ?
  हल  ( सक्षिप्त विधि - short tricks) :
  माना अभीष्ट लाभ = ×%
  ( 100 - 20 ) : 1024 : : ( 100 + × ) : 1472
  अर्थात 80 : 1024 : : ( 100 + × ) : 1472 ,
  : 100 +× = 80×1472/1024
  = 100 + ×= 115 = 15
   अतः अभीष्ट लाभ = 15 %

उदाहरण 8 . A ने एक रेडियो B को 20 % लाभ पर बेचा , B ने इसे C को 10 % हानि पर बेच दिया तथा C ने इसे D को 5 % लाभ पर बेच दिया । यदि D ने इसका मूल्य 1814 . 40 रु0 दिया हो , तो A ने रेडियो कितने रुपये में खरीदा ?
हल : ( संक्षिप्त विधि - short trick) :
माना A ने रेडियो x रू में खरीदा
तब × का 120 % का 90 % का 105 % = 1814 . 40  अर्थात x x128/100 ×90/100 ×105/100= 1814 . 40
अर्थात x ×6/5 ×9/10 /21/20 =1814,40
:; × = 1814 . 40 ×5/6 ×10/9 ×20/21 = 1600
अतः A ने रेडियो 1600 रु0 में खरीदा


उदाहरण 9  : यदि 12 वस्तुओं का क्रय मूल्य 9 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर हो , तो लाभ - प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।
हल : माना प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य = 1 रु0
तब 9 वस्तुओं का क्रय मूल्य = 9 रू 0
9 वस्तुओं का विक्रय मूल्य = 12 वस्तुओं का क्रय मूल्य = 12 रु0
:; 9 रू0 पर लाभ = 3 रु0 .
अतः लाभ % =(3/9 x 100 )% = 33/1/3%


उदाहरण 10 . एक फल विक्रेता द्वारा 33 केले बेचने पर 11 केलों के विक्रय मूल्य के  बराबर लाभ होता है । लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।
हल : लाभ = ( 33 केलों का वि0 मू0 ) - ( 33 केलों का क्र0 मू0 )
11 केलों का वि0 मू0 = ( 33 केलों का वि0 मू0 ) - ( 33 केलों का क्र0 मू0 )
  22 केलों का वि0 मू0 = 33 केलों का क्र0 मू0
  माना प्रत्येक केले का क्रय - मूल्य = 1 रु0 । तब 22 केलों का क्रय मूल्य = 22 रु0
  22 केलों का वि0 मूल्य = 33 रु0
  लाभ % = (11/22x100 ) % = 50 % .



उदाहरण 11 . हरि ने 25 किग्रा0 चावल 16 रु0 प्रति किग्रा0 की दर से तथा 35किग्रा0  20 रू 0 प्रति किग्रा0  की दर से खरीदा । इन चावलों को मिलाकर बने मिश्रण को 19•25 रू0प्रति किग्रा0 बेच देने से उसे कितने प्रतिशत लाभ अथवा हानि होगी ?
हल : 60 किग्रा0 चावल का क्रय मूल्य = ( 25x16 + 35x20 ) रु0 = 1100 रु0
60 किग्रा0 चावल का वि0 मूल्य = ( 60x19 . 25 ) रु0 = 1155 रु0
लाभ % =( 55/100x100 ) % = 5 %

उदाहरण 12 . एक दुकानदार ने 80 किग्रा0 चावल 13 . 50 रु0 प्रति किग्रा0 की दर से तथा 120 किग्रा0 16 रु0 प्रति किग्रा ) की दर से खरीद कर मिला दिया । वह मिश्रण को किस भाव बेचे कि उसे 16 % लाभ हो ?
हल  : 200 किग्रा0 चावल का क्र0 मू0 = ( 80x13 . 5 + 120x16 ) रु0 = 3000 रु0
इस चावल का वि  मू0 = 3000 रु0 का 116 %
=( 3000×116/100 )रू0 =3480 रू0
चावल का बिक्री दर = [ 3480/200] रु0 प्रति किग्रा ) = 17 . 40 रु0 / किग्रा )


Objective Q & A - ( वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर )

1 किसी वस्तु को 48 रु0 में बेचने से 20 % हानि होती है । इस वस्तु पर 20% लाभ कमाने के लिए विक्रय - मूल्य क्या होगा ?
( a ) 52 रू0                 ( b ) 56 रु0
  ( c ) 68 रु0                  ( d ) 72 रु0          ( d )
                                               ( क्लर्कस ग्रेड परीक्षा )
हल:  80:48::120:×=×=(48×120/80 )
=72 रू0

2 एक खिलौने को 21 . 60 रु0 में बेचने से 10 % हानि होती है । इस पर 20 %लाभ कमाने के लिए इसका विक्रय - मूल्य क्या होगा ?
( a ) 24 रु0               ( b ) 25 . 92 रु0
( c ) 28 . 80 रु0       ( d ) इनमें से कोई         ( c )
                                             ( बैंक पी0 ओ0 परीक्षा )
हल: 90:21:60::120:×=×=( 21•60×120/90 )रू0
=28•80 रू0

3 किसी वस्तु का विक्रय - मूल्य इसके क्रय - मूल्य का 4/3 गुना है । लाभ प्रतिशत कितना है।
( a ) 20 *1/3 %                      ( b ) 20*1/2 %
( c ) 25*1/4 %                     ( d ) 33*1/3%   ( d )
                                               ( असिस्टेंट ग्रेड परीक्षा )
हल:माना क्रय मूल्य = × तब , वि0 मूल्य = 4/3 × .
लाभ =( 4×/3-× )=×/3
= लाभ % = ( x/3x 1/×100) % = 33*1/3%

4  किसी खिलौने को 450 रु0 में बेचने से हुआ लाभ , 320 रु0 में बेचने पर हुई । हानि से 30 रु0 अधिक है । खिलौने का क्रय - मूल्य क्या है ?
( a ) 350 रु0           ( b ) 370 रु0
( c ) 400 रु0           ( d ) 420रू0                 ( b )
                                          ( सी० बी० आई0 परीक्षा )
हल:मानां क्रय मूल्य = ×. तब , ( 450 - ×) - ( x - 320 ) = 30
अर्थात 770 - 2x = 30 अर्थात 2× = 740
अर्थात × = 370

5  किसी वस्तु को 560 रु0 में बेचने से हुई हानि , 720 रु0 में बेचने पर हुए लाभ  से 50 अधिक है । वस्तु का क्रय - मूल्य क्या है ?
( a ) 625 रु0               ( b ) 600 रु0
( c ) 650 रु0              ( d ) 665 रु0       ( d )
                                             ( दिल्ली पुलिस परीक्षा )
हल: माना क्रय - मूल्य =× रु0
( × - 560 ) - ( 720 - x ) = 50
अर्थात 2x - 1280 = 50
  अर्थात 2x = 1330 अर्थात × = 665

6 एक मोटरसाइकिल को 22600 रु0 में बेचने से एक व्यक्ति को 13 % लाभ होता है । उसे कितने रुपये का लाभ होता है ?
( a ) 600 रु0              ( b ) 2938 रु0
( c ) 2600 रु0          ( d ) आँकड़े अपर्याप्त     ( c )
                                       ( जीवन बीमा निगम परीक्षा )
हल: माना क्रय मूल्य = × , तब , × का 113 % = 2260 . अर्थात x x113/100 = 22600
अर्थात  = ( 22600x100/113 )= 20000 रु0
: लाभ = ( 22600 - 20000 ) रु0 = 2600 रु0


7  दो प्रकार की दालों को 2 : 3 के अनुपात में मिलाकर मिश्रण को 22 रू0 प्रति किग्रा ) बेचने से , एक दुकानदार को 10 % लाभ होता है । यदि थोड़ी मात्रा वाली दाल का भाव 14 रुपये प्रति किग्रा ) हो तो अधिक मात्रा वाली दाल कितने रुपये वति किग्रा ) की दर से है ?
( a ) 23 रु0                   ( b ) 24 रु0
( c ) 25 रु0              ( d ) इनमें से कोई नहीं     ( b )
                                           ( होटल मैनेजमेंट ,परीक्षा )
हल: माना अभीष्ट दर = × रु0 प्रति किग्रा
5 किग्रा0 का क्रय मूल्य = ( 2x14 + 3x× ) = ( 28 + 3× )
5 किग्रा का वि0 मूल्य = ( 5x22 ) रु0 = 110 रु0
  ( 28 + 3×) का 110 % = 110
   अर्थात ( 28 + 3× ) ×110/100 = 110
   अर्थात 28 + 3× = 100
अर्थात 3×= 72
  अर्थात ×=24

8 राम ने एक गाय रहीम को 20 % लाभ पर बेच दी तथा रहीम ने इसे राबर्ट को 25 % लाभ पर बेच दिया । यदि राबर्ट ने 900 रु0 दिये हों , तो राम ने गाय  कितने में खरीदी ?
( a ) 750 रु0              ( d ) 800 रु0
( b ) 700 रु0              ( d )600 रु0         ( d )
                                           ( सी0 डी0 एस0 परीक्षा )
हल: माना राम ने गाय × रु0 में खरीदी
तब , ×  का 120 % का 125 % = 900
अर्थात x x 120/100×125/100= 900
अर्थात x x 6/5 5×4= 900
अर्थात ×= 900x4/6 = 600 रु0

9 A ने अपना 10 लाख रु0 का मकान B को 10 % हानि पर बेच दिया । B  ने वापिस इसे A को 10 % लाभ पर बेच दिया । इस लेन - देन में :
( a ) A को न लाभ हुआ न हानि
( b ) A को 90000 रु0 की हानि हुई
( 6 ) A को 20000 रु0 की हानि हुई
( d ) B को 110000 रु0 का लाभ हुआ        ( b )
                                              ( एन0 डी0 ए0 परीक्षा )
हल:-B का क्रय मूल्य =( 1000000x90/100 )
= 900000 रु0
B का वि0 मूल्य = ( 900000x110/100 ) रु0
= 990000 रु0
  A द्वारा दिया गया धन = 990000 रू0
  A द्वारा लिया गया धन = 900000 रु0
  A को हानि = ( दिया गया धन ) - ( लिया गया धन )
  = ( 990000 - 900000 ) रु0 = 90000 रु0

10 यदि 110 आम बेचने पर एक फल विक्रेता को 120 आमों के क्रय - मूल्य के बराबर धन मिले , तो उसका लाभ प्रतिशत क्या है ?
( a ) 9*1/9 %        ( b ) 11*1/9 %
( c ) 9*1/11 %       ( d ) 10* 10/11 %     ( c )
                                                    ( आयकर , विभाग )
हल: माना 1 आम का क्रय - मूल्य = 1 रु0
110 आमों का क्र0 मू0 = 110 रु0
110 आमों का वि0 मू0 = 120 रु0
लाभ % = ( 11/110x100 ) % = 9*1/11%

11 एक व्यक्ति ने कुछ केले एक रु0 के 3 की दर से खरीदे । उतने ही केले उसने एक रु0 के 2 की दर से खरीदे । इन सब पर 20  % लाभ कमाने हेतु वह इन्हें  कितने रुपये प्रति दर्जन की दर से बेचेगा ?
( a )4 रु0                         ( b ) 5 रु0
( c ) 6 रु0                         ( d ) 7 रु0         ( c )
                                               ( यू0 डी0 सी0 परीक्षा )
हल:माना वह प्रत्येक प्रकार के 6 केले खरीदता है
1  दर्जन केलों का क्रय मूल्य = ( 1/3x6 + 1/2x6 )रु 0 = 5 रु0
1 दर्जन केलों का वि0 मू0 = 5 रु0 का 120 %
= ( 5x120/100 ) रु0 = 6 रु0

आयु सम्बन्धी प्रश्न

 Tricks And Tips To Solve age-related question in Hindi -  ( आयु सम्बन्धी प्रश्न )

* साधित उदाहरण ( Derivative example ) *

उदाहरण 1  राजीव की आयु अपने पुत्र संजीव की आयु से चौगुनी है । पाच वर्षे पूर्व राजीव की आयु संजीव की आयु से 9 गुनी थी । राजीव की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
हल माना संजीव की आयु = × वर्ष तथा राजीव की आयु = 4  × वर्ष
5 वर्ष पूर्व संजीव की आयु = ( x - 5 ) वर्ष
5 वर्ष पूर्व राजीव की आयु = ( 4 × - 5 ) वर्ष
:( 4x - 5 ) = 9 ( × - 5 ) अर्थात = × = 8
अतः राजीव की वर्तमान आयु = 4 × = 32 वर्ष ।


उदाहरण 2 , आठ वर्ष पूर्व रमेश की आयु अपने पुत्र की आयु से 4 गुनी थी । आठ  वर्ष बाद रमेश की आयु अपने पुत्र की आयु से दुगुनी होगी । दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
हल : माना 8 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु × वर्ष तथा रमेश की आयु 4 ×  वर्ष थी ।
पुत्र की वर्तमान आयु = ( x + 8 ) वर्ष , रमेश की वर्तमान आयु = ( 4 x + 8 ) वर्ष
8 वर्ष बाद पुत्र की आयु = ( x + 16 } वर्ष
8 वर्ष बाद रमेश की आयु = ( 4 x + 16 ) वर्ष
: 2 ( × + 16 ) = ( 4 × + 16 ) अथवा = × 8
  पुत्र की वर्तमान आयु = ( x + 8 ) = 16 वर्ष
   रमेश की वर्तमान आयु = ( 4 x + 8 ) = 40 वर्ष

उदाहरण 3 . मोना तथा सोना की आयु का अनुपात 4 : 5 है । बारह वर्ष बाद यह अनुपात 5 : 6 हो जायेगा । 8 वर्ष बाद मोना की आयु क्या होगी ?
हल : माना मोना की आयु = 4 ×  वर्ष तथा सोना की आयु = 5 ×  वर्ष है ।
12 वर्ष बाद मोना की आयु = ( 4 × + 12 ) वर्ष
12 वर्ष बाद सोनी की आयु . = ( 5 × + 12 ) वर्ष
   4x + 12  /  5 × + 12 = 5/6
    अर्थात 6 = ( 4 × + 12 )  =( 5 × + 12 )
    अर्थात × =12
    मोना की वर्तमान आयु = 4 x = 48 वर्ष
   8 वर्ष बाद मोना की आयु = ( 48 + 8 ) वर्ष = 56 वर्ष

उदाहरण 4 . वरूण तथा उसकी माता की आयु का योग 49 वर्ष है । 7 वर्ष पूर्व माता की आयु वरूण की आयु से चार गुनी थी । बरूण की माता की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
हल : माना वरुण की आयु = × वर्ष तथा माता की आयु = ( 49 - × ) वर्ष है
7 वर्ष पूर्व वरूण की आयु = ( x - 7 ) वर्ष
7 वर्ष पूर्व वरूण की माता की आयु = ( 49 - × - 7 ) वर्ष = ( 42 - x ) वर्ष
4 ( × - 7 ) = ( 42 - × ) अथवा  × = 14
अतः वरूण की माता की वर्तमान आयु = ( 49 - × ) = 35 वर्ष

उदाहरण 5 . A तथा B की आयु का अन्तर 16 वर्ष है । 6 वर्ष पहले A की आयु  B की आयु से तिगुनी थी । उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
  हल : माना A की आयु = X वर्ष तथा B की आयु = ( x - 16 ) वर्ष
   6 वर्ष पूर्व A की आयु = ( x - 6 ) वर्ष , 6 वर्ष पूर्व B की आयु = ( x - 22 ) वर्ष
   : ( x – 6 ) = 3 ( x -  22 ) अर्थात  x = 30
   अतः A की आयु = 30 वर्ष , B की आयु = 14 वर्ष


उदाहरण 6 , मीना और उसकी माता की आय का अनुपात 3 : 8 है तथा उसकी आयु में अन्तर 35 वर्ष है । चार वर्ष बाद उनकी आय का अनुपात क्या होगा ?
हल:  माना  मीना की आयु = 3 × वर्ष तथा उसकी माता की आय = 8  × वर्ष
तब , 8× - 3 × = 35 अर्थात × = 7
4 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात = 3× + 4 / 8 × +4 =3 ×7+4 /8×7+4 =25/60 =5/12
अतः अभीष्ट अनुपात = 5 : 12

उदाहरण 7 . एक पिता की आयु , पुत्र की आयु के तीन गुने से 3 वर्ष अधिक है । यदि 3 वर्ष बाद पिता की आयु , पुत्र की आयु के दुगने से 10 वर्ष अधिक हो , तो पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
हल : माना पुत्र की वर्तमान अायु = × वर्ष
  तब , पिता की वर्तमान आयु = ( 3x + 3 ) वर्ष
  3 वर्ष बाद पुत्र की आयु = ( x + 3 ) वर्ष
  3 वर्ष बाद पिता की आयु = ( 3x + 6 ) वर्ष
  { 3× + 6 ) = 2 ( × + 3 ) + 10 अर्थात × =10
अतः पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष ।

उदाहरण 8 . 5 वर्ष पूर्व विनय की आयु विकास की आयु का एक - तिहाई थी तथा अब विनय की आयु 17 वर्ष है । विकास की वर्तमान आयु क्या है ?
हल : 5 वर्ष पूर्व विनय की आयु = ( 17 - 5 ) वर्ष = 12 वर्ष
5 वर्ष पूर्व विकास की आयु = ( 3 x 12 ) = 36 वर्ष  विकास की वर्तमान आयु = ( 36 + 5 ) = 41 वर्ष ।

उदाहरण 9 . दस बच्चों  के एक समूह की औसत आय 14 वर्ष है । इस समूह में 5 और बच्चे सम्मिलित किये जाने पर समूह की औसत आयु में 1 वर्ष की वृद्धि हो जाती है । नये वर्षों की औसत आयु क्या है ?
हल : 10 बच्चों की कुल आय = ( 10x14 ) = 140 वर्ष  15 बच्चों की कुल आयु = ( 15 x 15 ) = 225 वर्ष
5 नये बच्चों की कुल आयु = ( 225 - 140 ) वर्ष = 85 वर्ष
इन नये बच्चों की औसत आयु =(85/5 ) = 17 वर्ष ।


उदाहरण 10 , चार खिलाड़ियों की औसत आयु 18 /1/2वर्ष है । प्रशिक्षक की आयु को सम्मिलित किये जाने पर औसत आयु में 20 % वृद्धि हो जाती है । प्रशिक्षक की  आयु ज्ञात कीजिए ।
हल : 4 खिलाष्ट्रियों की कुल आय = 37/4×4 वर्ष
  = 74 वर्ष
  (  प्रशिक्षक + 4 खिलाड़ियों ) की औसत आयु =( 120/100 × 37/2 )वर्ष =111/5 वर्ष
  ( प्रशिक्षक + 4 खिलाड़ियों ) की कुल आयु = ( 111/5×5 = 111 वर्ष
  प्रशिक्षक की आयु = ( 111 - 74 ) वर्ष = 37 वर्ष ।



  Objective Q & A - ( वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर )

1. मीना तथा मीरा की आयु का अनुपात 4 : 3 है तथा उनकी आयु का योग 28 वर्ष है । 8 वर्ष बाद इनकी आयु का अनुपात क्या होगा ?
( a ) 4 : 3                    ( b ) 6 : 5
( c ) 7 : 4                    ( d ) 12 :11          ( b )
                                          ( आयकर विभाग परीक्षा )
हल:  माना मीना की आयु = 4× , मीरा की आयु = 3x
4× + 3×= 28 = × = 4
मीना की आयु = 16 वर्ष , मीरा की आयु = 12 वर्ष
8 वर्ष बाद इनकी आयु का अनुपात = ( 16 + 8 ) : ( 12 + 8 ) = 24 : 20 = 6 : 5

2 . राम तचा मुक्ता की आयु का अनुपात 3 : 5 है । 9 वर्ष बाद इनकी आयु का अनुपात 3 : 4 हो जायेगा । मुक्ता की वर्तमान आयु क्या हैं ।
( a ) 9 वर्ष                      ( b ) 15 वर्ष
( c ) 18 वर्ष                    ( d ) 24 वर्ष        ( b )
                                            ( असिस्टेंट ग्रेड , परीक्षा )
हल: माना राम की आयु = 3x
मुक्ता की आयु = 5x
3 ×+ 9 /5× +9 =3/4
अर्थात  4 ( 3× + 9 ) = 3 ( 5× + 9 ) अर्थात ×=3
मुक्ता की वर्तमान आयु = 5× = 15 वर्ष ।

3 . स्वाति तथा वरूण की वर्तमान आयु का अनुपात 2 : 5 है । 8 वर्ष बाद इनकी आयु का अनुपात 1 : 2 होगा । उनकी वर्तमान आय का अन्तर कितना है ?
( a ) 24 वर्ष                  ( b ) 26 वर्ष 
( c ) 29 वर्ष                  ( d ) 32 वर्ष           ( a )
                                         ( सी० बी० आई० परीक्षा )
हल: माना स्वाति की आयु = 2×
वरूण की आयु = 5x
  2x + 8 /5 × +8  = 1/2अर्थात = 2 (2 ×+ 8 )
  =5 ×+8 अर्थात ×=8
उनकी वर्तमान आयु का अन्तर = ( 5 ×- 2x ) = 3x = 24 वर्ष ।

4 . एक पिता की आयु , पुत्र की आयु से दुगुनी है । 20 वर्ष पूर्व पिता की आयु , पुत्र की आयु से 12 गुना थी । पिता की वर्तमान आयु क्या है ?
( a ) 44 वर्ष                    ( b ) 32 वर्ष
( c ) 52 वर्ष                    ( d ) 45 वर्ष         ( a )
                                          ( होटल मैनेजमेंट परीक्षा )
हल:  माना पुत्र की आयु = ×
पिता की आयु = 2x
  ( 2×- 20 ) = 12 ( × - 20 ) अर्थात × = 22
   अतः पिता की आयु = 2× = 44 वर्ष ।

5 . पाँच वर्ष पूर्व पिता एवं पुत्र की आयु का योग 40 वर्ष था । अब उनकी आयु का अनुपात 4 : 1 है । पिता की वर्तमान आयु क्या है ?
( a ) 50 वर्ष                ( b ) 55 वर्ष
( c ) 45 वर्ष            ( d ) इनमें से कोई नहीं       ( d )
                                              ( #बैंक पी0 ओ0 परीक्षा )
हल :माना पिता की आयु = 4x
पुत्र की आयु = x
( 4× - 5 ) + ( × - 5 ) = 40 = x = 10
  पिता की वर्तमान आयु = 4x = 40 वर्ष


6, पुष्पा की आयु रीटा की 2 वर्ष पूर्व की आयु की दुगुनी है । यदि दोनों की वर्तमान आयु का अन्तर 2 वर्ष हो , तो पुष्पा की वर्तमान आयु क्या है ?
( a ) 6 वर्ष                    ( b ) 8 वर्ष
( c ) 10 वर्ष                  ( d ) 12 वर्ष।          ( b )
                                                          ( रेलवे परीक्षा )
हल: माना पुष्पा की आयु = ×
रीटा की आयु = (× - 2 )
: ×  = 2 ( ×  - 2 - 2 ) अर्थात  × = 8


7  यदि 10 वर्ष बाद A की आय B की 10 वर्ष पहले की आय का दुगुना हो तथा अब A की आयु B की आयु से 9 वर्ष अधिक हो , तो B की वर्तमान आयु क्या है?
( a ) 19 वर्ष                   ( b ) 29 वर्ष
( c ) 39 वर्ष                    ( d ) 49 वर्ष       ( c )
                                       ( जीवन बीमा निगम परीक्षा )
हल: माना B की वर्तमान आयु = ×
A की वर्तमान आयु = ( x + 9 )
10 वर्ष पहले B की आयु = ( x - 10 )
  10 वर्ष बाद A की आयु = ( x + 9 + 10 ) = ( x + 19 )
    x + 19 = 2 (× - 10 )
   अर्थात  = 39 .


8   दो वर्ष पूर्व एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 6 गुनी थी । 18 वर्ष बाद , उसकी आयु पुत्र की आयु से दुगुनी होगी । उनकी आयु क्रमशः हैं :
( a ) 32 वर्ष , 7 वर्ष      ( b ) 34 वर्ष , 9 वर्ष
( c ) 36 वर्ष , 11 वर्ष   ( d ) इनमें से कोई नहीं  ( a )
                                              ( एन0 डी0 ए0 परीक्षा )
हल: माना 2 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु = ×
पिता की आय = 6×
पुत्र की वर्तमान आयु = ( x + 2 ) , पिता की वर्तमान आयु = ( 6x + 2 )
( 6× + 2 + 18 ) = 2 ( x + 2 + 18 )
  अर्थात × = 5
  पिता की वर्तमान आयु = ( 6× + 2 ) = 32 वर्ष
  पुत्र की वर्तमान आयु = ( x + 2 ) = 7 वर्ष

 

संख्याओं पर संक्रियायें

  संख्याओं पर संक्रियायें  ( गणित की संक्रियाएं )  - योग , व्यवकलन , गुणा , भाग 


  हम जानते हैं कि किसी संख्या को लिखने के लिए दस अंकों का प्रयोग किया जाती है । ये अंक हो । 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 तथा 9 .
   किसी संख्या को लिखने के लिए हम दायीं ओर से बायीं ओर क्रमशः इकाई , दहाई सैकड़ा , हजार , दस - हजार , लाख , दस लाख , करोड़ , दस - करोड़ आदि स्थान लेते हैं । इन स्थनों की तालिका बनाकर हम किसी भी संख्या को सुविधापूर्वक लिख सकते है।
  
* दी गई संख्या में अंकों का स्थानीय तथा जातीय मान :- किसी अंक का जातीय मान :- एक दी गई संख्या में किसी अंक का जातीय मान उस अंक का अपना मान है चाहे वह अंक किसी भी स्थान पर हो ।
जैसे : संख्या 53479 में 3 का जातीय मान 3 है ; 7 का जातीय मान 7 है ।
किसी अंक का स्थानीय मान : किसी दी गई संख्या में : इकाई अंक का स्थानीय मान = ( इकाई अंक ) x 1
दहाई अंक का स्थानीय मान = ( दहाई अंक ) x 10  सैंकड़े के अंक का स्थानीय मान = ( सैंकड़े का अंक ) x 100 आदि ।


उदारहण 1 संध्या 7843569 में अंक 6 , 4 ब 8 के स्थानीय मान लिखिये ।
हल : ( 6 का स्थानीय मान = ( 6x10 ) = 60 ,
4 का स्थानीय मान = 4x10000=40000
8 का स्थानीय मान = 8 x 100000=800000

सम संख्यायें :-ऐसी संख्यायें जो 2 से पूर्णतया विभक्त हो जायें , सम संख्या कहलाती । हैं ।
जैसे : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 आदि ।

विषम संख्या :-ऐसी संख्यायें जो 2 से पूर्णतया विभक्त न हों , विषम संख्यायें कहलाती हैं । जैसे : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 आदि । अभाज्य संख्या : ऐसी प्रत्येक संख्या जिसके दो तथा केवल दो गुणनखण्ड हों , अभाज्य संख्या कहलाती है ।
जैसे : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 आदि अभाज्य संख्यायें हैं ।

यह ज्ञात करना कि कोई दी गई संख्या एक अभाज्य संख्या है अथवा नहीं है ।
विधि:- माना a एक दी गई संख्या है तथा N वह छोटी से छोटी संख्या है जिससे = n/2>a हो ।

अब दी गई संख्या को N तथा इससे छोटी प्रत्येक अभाज्य संख्या से भाग करके देखें । यदि इनमें से a किसी भी संख्या से पूर्णतया विभक्त न हो , तो a एक अभाज्य संख्या होगी । अन्यथा a एक अभाज्य संख्या नहीं है ।

उदाहरण 2 . जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन - कौन सी अभाज्य संख्यायें हैं । ( 1) 173 ( ii ) 341 ( iii ) 437 ( iv ) 811
हल : ( 1 ) हम जानते हैं कि ( 14 ) /2> 173 .
14 से छोटी अभाज्य संख्यायें हैं 2 , 3 , 5 , 7 , 11 तथा 13
. स्पष्ट है कि 173 इनमें से किसी भी संख्या से पूर्णतया विभक्त नहीं होती ।
अतः 173 एक अभाज्य संख्या है ।

(ii ) हम जानते हैं कि ( 19 ) /2> 341
19 से छोटी अभाज्य संख्यायें हैं : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17
स्पष्ट है कि 341 इनमें से 11 से पूर्णतया विभक्त होती है । अतः 341 एक अभाज्य संख्या नहीं हैं ।

(iii ) हम जानते हैं कि ( 21 )/2 > 437 ,
21 से छोटी अभाज्य संख्यायें हैं : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 ,
इनमें से 437 स्पष्टतया 19 से विभक्त होती है ।
अतः 437 एक अभाज्य संख्या नहीं है ।

( iv ) हम जानते हैं कि ( 29 ) /2 > 811 ,
  29 से छोटी अभाज्य संख्यायें हैं : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 .
  भाग देने से ज्ञात होगा कि 811 इनमें से किसी भी संख्या से विभक्त नहीं होती ।


अतः 811 अभाज्य संख्या है ।

*किसी संख्या से पूर्णतया विभक्त होने के नियम ,
1 ,2 से विभक्त होने का नियम : कोई दी गई संख्या 2 से विभक्त तभी होगी जबकि इसका इकाई अंक 0 , 3 , 4 , 6 अथवा 8 में से कोई हो ।
जैसे : 53680 , 622382 , 707604 , 613576 , 1051568 में से प्रत्येक संख्या  2 से विभक्त होगी , चूंकि इनके इकाई अंक क्रमशः ( 0 , 2 , 4 , 6 तथा 8 हैं ।

2:    3 से विभक्त होने का नियम है कोई दी गई संख्या 3 से विभक्त तभी होगी जबकि इस संख्या के अंकों का योग 3 से विभक्त हो ।
जैसे : सध्या 675402 के अंकों का योग 24 है , जो 3 से पूर्णतया विभक्त होता है । अतः संख्या 675402 भी 3 से विभक्त होगी ।
3  9 से विभक्त होने का नियम : कोई दी गई संख्या 9 से विभक्त तभी होगी जबकि  इस संख्या के अंकों का योग 9 से पूर्णतया विभक्त हो ।
जैसे : संख्या 9876513 के अंकों का योग 39 है जो 9 से विभक्त नहीं होता । अतः यह संख्या 9 से विभक्त नहीं होती ।
(4) 4 से विभक्त होने का नियम : कोई दी गई संख्या 4 से विभक्त तभी होगी जबकि इसके दहाई तथा इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभक्त हो ।
जैसे : संख्या 106594 के दहाई तथा इकाई अंकों से बनी संख्या 94 है , जो 4 से  विभक्त नहीं होती ।
अतः दी गई संख्या 4 से विभक्त नहीं होती ।

( 5 ) 8 से विभक्त होने का नियम है कोई दी गई संख्या 8 से विभक्त तभी होगी जबकि उसके सैंकड़े , दहाई तथा इकाई अंकों से बनी संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त हो । ' जैसे : संख्या 16397128 के सैकड़े , दहाई तथा इकाई अंकों से बनी संख्या 128 है जो 8 से पूर्णतया विभक्त होती है ।
अतः दी गई संख्या 8 से पूर्णतया विभक्त होगी ।

( 6) 5 से विभक्त होने का नियम : कोई दी गई संख्या 5 से विभक्त तभी होगी जबकि  इसका इकाई का अंक 0 अथवा 5 हो ।
जैसे : संख्याओं 1597860 तथा 7245865 में से प्रत्येक संख्या 5 से विभक्त होती है । चूंकि इनके इकाई के अंक क्रमशः 0 तथा 5 हैं ।

( 7 ) 11 से विभक्त होने का नियम : कोई दी गई संख्या 11 से तभी विभक्त होगी । जबकि इकाई से बायीं ओर चलने पर सम - स्थानों के अंकों के योग तथा विषम स्थानों के अंकों के योग का अन्तर 0 हो अथवा 11 से विभक्त हो ।  जैसे : संख्या 1361052 में
  ( सम स्थानों के अंकों का योग ) - ( विषम स्थानों के अंकों का योग )
   = ( 5 + + 3 ) - ( 2 + 0 + 6 + 1 ) = 0 .
   अतः दी गई संख्या 11 से विभक्त होगी ।
   पुनः संख्या 10864195 लें । इस संख्या में :
   ( सम स्थानों के अंकों का योग ) - ( विषम स्थानों के अंकों का योग )
( 9 + 4 + 8 + 1 ) - ( 5 + 1 + 6 + 0 ) = 10 . जो 11 से विभक्त नहीं होता ।
अत: दी गई संख्या 11 से विभक्त नहीं होती ।

*सह - अभाज्य संख्यायें : दो संख्यायें a तथा b सह - अभाज्य तभी कहलायेगी , जबकि उनका महत्तम समापवर्तक 1 हो ।
कुछ सह - अभाज्य संख्याओं के जोड़े नीचे दिये गये हैं : ( 2 , 3 ) . ( 3 , 4 ) , ( 5 , 9 ) . ( 21 , 65 ) आदि ।

* एक विशेष नियम : यदि कोई संख्या a तथा b दोनों से पूर्णतया विभक्त होती है तथा । a . b सह - अभाज्य संख्यायें हैं , तो वह संख्या ab से भी पूर्णतया विभक्त होगी ।

उदाहरण 3 , कोई संख्या यदि 4 तया 6 दोनों से विभक्त होती है , तो क्या यह आवश्यक है कि यह संख्या 24 से विभक्त हो । इसकी विवेचना कीजिए ।
उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए ।
हल ; नहीं , उदाहरण हेतु 36 लीजिए ।
यह 4 तथा 6 दोनों से विभक्त होता है , परन्तु 24 से विभक्त नहीं होता ।
ध्यान रहे , 4 तथा 6 सह - अभाज्य संख्यायें नहीं हैं ।

उदाहरण 4 , बिना भाग दिए , सिद्ध कीजिए कि 2179782 पूर्णतया 66 से विभक्त होती है :-
हल : 66 = ( 2x3x11 ) , जहाँ 2 , 3 , 11 का म0 स0 1 है ।
दी गई संख्या का इकाई अंक 2 है , अतः यह 2 से विभक्त होगी ।
  दी गई संख्या के अंकों का योग 36 है , जो 3 से विभक्त होता है ।
   अतः दी गई संख्या 3 से विभक्त होती है ।
   दी गई संख्या में :
( सम स्थानों का योग ) - ( विषम स्थानों का योग ) = 0 . अतः दी गई संख्या 11 से विभक्त होगी ।
:दी गई संख्या ( 2x3 x 11 ) अर्थात 66 से विभक्त होगी ।

कुछ और तथ्य :
( 1 ) प्रत्येक सम संख्या का वर्ग एक सम संख्या होती है । ( 2 ) प्रत्येक विषम संख्या का वर्ग एक विषम संख्या होती है ।
  (3) प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग =n ( n + 1 ) /2
  (4) प्रथम n सम संख्याओं का योग = n ( n + 1 ) . ( 5 ) प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n /2
(6)किसी संख्या का वर्ग करने पर इकाई के स्थान पर 2 , 3 , 7 में से कोई भी अंक कदापि नहीं आयेगा ।
(7)श्रेणी a,a+d,a+ 2d ,... में n वीं संख्या = a+(n-1)d
तथा n पदों का योग = n/2 (2a+( n - 1 ) d ] .


संक्षिप्त विधियों से गुणा :
1 . किसी संख्या को 9 , 99 , 999 , 9999 आदि से गुणा करना :
  संक्षिप्त विधि · दी गई संख्या के दायीं ओर उतने शून्य लगायें जितने 9 हों । इस प्रकार प्राप्त संख्या में से दी गई संख्या घटाने पर अभीष्ट गुणनफल प्राप्त होगा ।
   उदाहरण 5 . निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
   ( i ) 9863x99 ( i ) 65873x9999 ( iii ) 10581 x 99999
    हल : ( i ) 9863x99 = 9863x ( 100 - 1 )
     = ( 986300 - 9863 ) = 976437 .
    
( ii ) 65873x9999 = 65873x ( 10000 - 1 )
  = ( 658730000 - 65873 ) = 658664127 .
 
( iii ) 10581 x99999 = 10581x ( 100000 - 1 )
= ( 1058100000 - 10581 ) = 1058089419 .


2  किसी संख्या को 5 की किसी घात से गुणा करना :
संक्षिप्त विधि : माना किसी संख्या को 5 /n से गुणा करना है । तब , दी गई संख्या के दायी ओर n शून्य लगाने से बनी संख्या को 2 /n से ' भाग दें ।

उदाहरण 6 . निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
( 1 ) 7946X125
( ii ) 60579x 625
  ( iii ) 12348 x 3125
हल : ( i ) 7946 x 125 =  7946x5/3
= 7946000 /2^3 =7946000/8=993250

(2)60579×625=60579×5/4
=605790000/2^4  =605790000/16
=37861875

(3)12348×3125=12348×5/5
=1234800000/2^5=1234800000/32
=38587500

(3). वितरण नियम द्वारा गुणनफल :
( i ) a ( b + c ) = ab + ac
( 2 ) a ( b - c ) = ab - ac

उदाहरण 7 . ( i ) 8756X938 + 8756 x 62 = ?
  ( ii ) 9384x831 - 9384x731 = ?
  हल : ( 1 ) 8756x938 + 8756x62
  = 8756 x ( 938 + 62 ) = 8756x1000
  = 8756000
 
( ii ) 9384 x 831 - 9384X731
= 9384x1831 - 731 )
= 9384 x 100 = 938400 .

4 . गुणनफल के लिए विशेष सूत्र : .
( १ ) ( a + b ) /2= a/2+ b/2+ 2ab
( ii ) ( a - b ) /2= a/2+ b/2- 2ab
( iii ) ( a + b )/3 = a3 + b/3+3ab ( a + b )
( iv ) ( a - b )/3 = a/3-b/3-3ab ( a - b )
( ७ ) ( a /3+ b /3) = ( a + b ) ( a/2 + b/2 - ab )
( vi ) ( a/3— b /3) = ( a - b ) ( a /2+  b/2+ ab )
( vii ) ( a/2 - b /2) = ( a+ b ) ( a — b )
( viii ) ( a + b ) /2- ( a - b )/2 = 4ab
( ix ) ( a + b ) /2+ ( a - b )/2 = 2 ( a/2+ b /2)


उदाहरण 7 . निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
( i ) 1607x1607
( ii ) 1796x1796
( i ) 871 x 871 - 429x429
हल : (1 )1607 x 1607 = ( 1607 ) /2
= ( 1600 + 7 )/2
   = ( 1600 )/2 + 7 /2+ 2x1600x7
   = 2560000 + 49 + 22400
   = 2582449 ,
  
( 2) 1796 x 1796
= ( 1796 ) /2= ( 1800 - 4 ) /2
= ( 1800 ) /2+ 4 /2- 2x1800x4
= 3225616

( iii ) 871 x 871 - 429x429
= ( 871 ) /2-( 429 ) /2
= ( 871 + 429 ) ( 871 - 429 )
= 1300x442
= 574600.

उदाहरण 8. सरल कीजिए :
( a ) 87x87 + 13x13 + 2x87x13 = ?
( ii ) 73x73 + 48x48 - 2x73x48 = ?
हल : ( a ) दिया गया व्यंजक = ( 87 )/2 + ( 13 ) /2+ 2x87x13
= ( a/2 + b/2 + 2ab ) ,
जहाँ a = 87 तथा b = 13 =
  ( a + b ) /2= ( 87 + 13 )/2
   = ( 100 )/ 2
   = 10000
  
( 2) दिया गया व्यंजक = ( 73 ) /2+ ( 48 ) /2- 2x73x48
= ( a /2+ b/2 - 2ab )
  जहाँ a = 73 तथा b = 48
   = ( a - b ) /2= ( 73 - 48 ) /2
   = ( 25 )/2 = 625 .
  
उदाहरण 9 सरल कीजिए :
( 213x213 + 187x187 ) .
हल : हम जानते हैं कि : ( a/2 + b/2 ) =1/2 [ ( a + b )/2 + ( a - b)/2
: ( 213 ) /2+ ( 187 ) /2= 1/2( 213 + 187 ) /2+ ( 213 - 187 )/2
= . [ ( 400 )/2 + ( 26 )/2 ] =1/2 [ 160000 + 676 ] = 80338 .

उदाहरण 10. सरल कीजिए
(1)631×631×631+289×289×289/631×631-×631×289+289×289
(2)498×498×498-169×169×169/498×498+498×169+169×169
(3)(917+296)/2-(917-296)/2 /917×296
(4)(741+378)/2+(741-378)/2 /741×741+378×378
हल : ( 1 ) दिया गया व्यंजर्क =  ( 631 ) /3+ 289 /3 / (631)/2-631×289+(289)/2
= ( a/3+ b /3) /( a/2-ab +b/2)
= ( 631 + 289 ) = 920

( ii ) दिया गया व्यंजक = ( 498 )/3- ( 169 )/3  
/( 498 ) /2+ 498 x 169 + ( 169 ) /2
= ( a /3- b /3) / (a/2+ab+b/2)
=(a-b)
= ( 498 - 169 ) = 329

( iii ) दिया गया व्यंजक = ( a + b )/2 - ( a - b )/2 /ab
=4ab/ab
=4

( iv ) दिया गया व्यंजक =  ( a + b ) /2+ ( a - b )/ 2 /(a /2+ b/2 )
=2(a/2+b/2) /(a/2+b/2)
= 2



• भाग संक्रिया पर आधारित प्रश्नों के लिए सूत्र :
• भाज्य , भाजक , भागफल तथा शेषफल : माना किसी संख्या  a को दूसरी संख्या b से भाग देने पर भागफल q तथा शेषफल rप्राप्त होता है ।
•  तब a को भाज्य तथा b को भाजक कहते हैं ।
•   भाज्य = ( भाजक X भागफल ) + ( शेषफल ) अर्थात a =bq+r, , जहाँ 0<-r<b
•    सुत्र : ( १ ) भाग्य = ( भाजक X भागफल ) + शेषफल
  ( ii ) भाजक = ( भाज्य - शेषफल )/भागफल
   ( iii ) भागफल = (भाज्य-शेषफल)/भाजक
  
उदाहरण 11, 16075 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 167 तथा शेषफल 43 प्राप्त होता है । भाजक ज्ञात कीजिए ।
हल : भाजक =( भाज्य - शेषफल ) / भागफल
( 16075 - 43 )/167
=16032/167
= 96 .

उदाहरण 12 . 4000 में से छोटी से छोटी क्या संख्या घटाई जाये कि शेष बची संख्या 19 से पूर्णतया विभक्त हो जाये?
हल : 4000को 19 से भाग देने पर शेषफल = 10 . अभीष्ट संख्या = 10 .

उदाहरण 13. 3607 के समीपत मे वह संख्या कौनसी है जो 21 से पूर्णतया विभक्त होती हो ।
हल : 3607 को 21 से भाग देने पर ,
शेषफल = 16 ,
जो 21 के आधे से अधिक है ।
अभीष्ट संख्या = 3607 + ( 21 - 16 ) = 3612 ,

उदाहरण 14 . किती संख्या को 342 से भाग देने पर क्षेत्रफल 47 प्राप्त होता है । इसी संख्या में 18 से भाग देने पर क्या शेषफत प्राप्त होगा ?
हल : माना दी गई संख्या को 342 में भाग देने पर भागफल = k तथा शेषफल = 47 .
तब , दी गई संख्या = 342 k+ 47
= ( 18x19k - 18x2 + 11 )
= 18 x ( 19k  + 2 ) + 11 .
अतः दी गई संख्या को 18 से भाग देने पर शेषफल = 11 , कुल संख्याओं को गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल का इकाई अंक है :


उदाहरण 15 . ( 378 x 136x259x212 ) के गुणनफल में इकाई अंक क्या होगा ?
हल : दी गई संख्याओं के इकाई अंकों का गुणनफल = ( 8x6x9x 2 ) = 864 .
दी गई संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक = 4 .
 

उदाहरण 16 . ( 3/57 x6 /41x7/63 ) के गुणनफल में इकाई अंक क्या होगा ?
हल  स्पष्ट है कि 3 /4' का इकाई अंक = 1
:  3/56= ( 3/4) /14का इकाई अंक = 1
  : 3 /57' का इकाई अंक = ( 1x3 ) = 3
   चूंकि 6 की प्रत्येक घात का इकाई अंक = 6 ,
   अतः 6 /41 का इकाई अंक = 6 .
   स्पष्ट है कि 7/4  का इकाई अंक = 1
    : 7/60= ( 7 /4) /15का इकाई अंक = 1 .
    अतः 7/63 का इकाई अंक = ( 1x7x7x7 ) का इकाई अंक = 3 ,
    (3/57×6/41×7/63 ) का इकाई अंक = ( 3x6x3 ) का इकाई अंक = 4.


1,  ( 3127 )/173 का इकाई अंक क्या है ?
  ( a ) 1                            ( b ) 3
  ( c ) 7                            ( d )  9           ( c )
                                                    असिस्टेंट गेड परीक्षा
हल:   (3127 ) /173 का इकाई अंक = ( 7 )/173 का इकाई अंक 7 का इकाई अंक = 1
( 7 )/172 = ( 7/4 )/43का इकाई अंक = 1
( 7 ) /173 का इकाई अंक = ( 1 x7 ) = 7


2. ( 2467 )/153 x ( 341 )/72 के गुणनफल में इकाई अंक क्या है ?
(a ) 1                              ( b ) 3
( c ) 7                             ( d ) 9.                ( c )
                                         ( सी० बी० आई परीक्षा )
हल: दिये गये गुणनफल में इकाई अंक = ( 7 ) /153×1/72 का इकाई
7/4 का इकाई अंक = 1 .
  = 7/152=( 7 /4)/38 का इकाई अंक = 1
7/153का इकाई अंक = ( 1x7 ) = 7 .
1/72 का इकाई अंक = 1
: दिये गये गुणनफल का इकाई अंक = ( 7x1 ) = 7

3,( 7/95 - 3/58  का इकाई अंक क्या है ?
  ( a ) 0                       ( b ) 4
  ( c ) 6                       ( d ) 7               ( b )
                                ( आयकर , विभाग परीक्षा )
हल: 7/4का इकाई अंक = 1 .
=7/92का इकाई अंक = ( 7/4 ) /23का इकाई अंक = 1 .
=7/95 का इकाई अंक = ( 1x7x7x7 ) का इकाई अंक = 3
= 3/4 का इकाई अंक = 1 .
= 3/56 = ( 3/4 )/14का इकाई अंक = 1
= 3 /58 का इकाई अंक = ( 1x3x3 ) का इकाई अंक = 9 
=( 7/95 - 3/58 ) का इकाई अंक = ( 13 - 9 ) = 4 .

4 . यदि ( 459x46x28 * X484 ) का इकाई का अंक 2 हो , तो * के स्थान पर अंक क्या होगा ?
( a ) 3.                           ( b ) 5
( c ) 7                            ( d ) इनमें से कोई नहीं
                                                       (  d  )
                                       ( होटल मैनेजमैंट , परीक्षा  )
हल:  ( 9x6x4 ) = 216
दिये गये गुणनफल में इकाई अंक 2 लाने हेतू , यह ऐसी संख्या से गुणा करना होगा जिसका इकाई अंक 2 हो । अतः * के . स्थान पर अंक = 2 .

5  तीन , अंकों वाली एक संख्या 4 x 3 की 984 में जोड़ने से चार अंकों की  संख्या 13 y 7 प्राप्त होती है , जो 11 से पूर्णतया विभक्त हो जाती है । तब , ( x + y )का मान क्या है ?
( a ) 10                           ( b )11
( C ) 12                         ( d ) 15                 ( a )
                                          ( दिल्ली पुलिस परीक्षा )
हल: 43 + 984 = 13 ( x + 8 ) 7 .
अतः 13y7 = 13 ( x + 8 ) 7 = y = x + 8 = y - x= 8 . चूँकि 13 y 7 पूर्णतया 11 से विभक्त होती है ,
अत:( 7 + 3 ) - ( y  + 1 ) = 0 अर्थात 9 - y = 0 अर्थात y = 9 ,
x=  ( y  - 8 ) = ( 9 - 8 ) = 1 ,
अतः  x + y = 1 + 9 = 10 .

6 . यदि 6 * +  * 5 + 4 * = 189 , तो * के स्थान पर अंक होगाः
( a ) 2                            ( b ) 7
( c ) 4.                        ( d ) ज्ञात नहीं किया जा सकता
                                                           ( b )
                                               ( क्लर्कस गेड परीक्षा )
हल : माना अभीष्ट अंक = x . तब ,
60 + x +10 x + 5 + 40 +x = 189
अर्थात 12 x= 84
अर्थात x - 7 .

7 . यह जाॅचने के लिए कि एक दी गई प्राकृत संख्या N एक अभाज्य संख्या है या नहीं यह जाँच करना ही पर्याप्त है कि यह संख्या N :
हल:‍ ( a )hqrt ( NN ) से छोटी किसी भी अभाज्य संख्या से विभक्त नहीं होती ।
( b ) hqrt( N )अथवा  hqrt ( N ) से छोटी किसी भी अभाज्य संख्या से विभक्त नहीं होती ।
( c ) ( N / 2 ) से छोटी किसी भी अभाज्य संख्या से विभक्त नहीं होती ।
( d ) ( N / 2 ) अथवा  ( N / 2 ) से छोटी किसी भी अभाज्य संख्या से विभक्त नहीं  होती ।
                                                              ( b )
                                               ( एन॰डी॰ए॰परीक्षा )
हल: N को अभाज्य संख्या होने के लिए यह आवश्यक है कि यह संख्या
hqrt N अथवा hqrt N से छोटी किसी भी अभाज्य संख्या से विभक्त नहीं हो ।


8  4456 में छोटी से छोटी क्या संख्या जोड़ी जाये कि योगफल 6 से पूर्णतया विभक्त हो जाये ?
( a ) 4                                 ( b ) 2 
( c ) 1                                ( d )इसमें से कोई नहीं
                                                    ( b )
                                     ( बैंक पी0 ओ0 परीक्षा )
हल :4456 को 6 से भाग देने पर शेषफल = 4 .
अतः जोड़ी जाने वाली अभीष्ट संख्या = ( 6 - 4 ) = 2 .

9 यदि ( a+1/a )=3, तो ( a/2+1/a/2=?
( a ) 9                            ( b ) 11
( c ) 7                             ( d ) 18           ( c  )
                                                  ( रेलवे परीक्षा )
हल ( a+1/a )=3= ( a+1/a )/3/2)
=a/2+1/a/2+2=9
अथवा=( a/2+1/a/2 )= 7

पाईप तथा टंकी

पाईप तथा टंकी के प्रश्न -

सामान्य नियम :
( 1 ) यदि एक पाईप किसी टंकी को x घण्टे में भरे , तो पाईप का 1 घण्टे का भराव कार्य = 1 / x
( 2 ) यदि एक निकासी पाईप भरी टंकी को y घण्टे में खाली करे , तो पाईप का 1 घण्टे का निकासी कार्य =1/y
( 3 ) यदि एक पाईप खाली टंकी को x घण्टे में भरे तथा दूसरा पाईप भरी टंकी को  y घण्टे में खाली करे , तो दोनों पाईपों द्वारा किया गया 1 घण्टे का कार्य
= ( 1 / x - 1 / y )


साधित उदाहरण -
उदाहरण 1 . दो पाईप A तया में एक टंकी को क्रमशः 12 घण्टे तथा 15 घण्टे में भर सकते हैं । यदि दोनों पाईप एक साथ खोल दिये जायें तो खाली टंकी भरने में कितना समय लगेगा ?
हल : A का 1 घण्टे का कार्य = 1/12
B का 1 घण्टे का कार्य =1/15
  ( A + B ) का 1 घण्टे का कार्य = ( 1/12 + 1/15 )
  =9 /60    = 3 / 20
   दोनों पाईपों द्वारा टंकी को भरने में लगा समय =20/3 घण्टे = 6 घण्टे 40 मिनट
  
उदाहरण 2 . एक पाईप एक टंकी को 16 घण्टे में भरता है  परन्तु , दंकी की तली में छेद होने के कारण यह टंकी 24 घण्टे में भरी जाती है । यदि टंकी पूरी भरी हो , तो छेद के कारण कितनी देर में खाली हो जायेगी ?
  हल : पाईप का 1 घण्टे का कार्य = 1 /16
  ( पाईप + छेद ) का 1 घण्टे का कार्य = 1/24
  छेद द्वारा 1 घण्टे का निकासी कार्य = ( 1 /16 - 1/24 )
  = 1/ 48
   छेद द्वारा , भरी टंकी को खाली करने में लगा समय = 48 घण्टे

उदाहरण 3 . दो पाईप A तथा B एक टंकी को भरने में क्रमशः 16 घण्टे तथा 24 घण्टे लेते हैं तथा एक निकासी पाईप c , भरी टंकी को 32 घण्टे में खाली करता है । यदि तीनों पाईप एक साथ खोल दिये जायें तो खाली टंकी को भरने में कुल कितना समय लगेगा ?
हल : ( A + B + C ) का 1 घण्टे का भराव कार्य = ( 1/16 + 1/24 - 1/32 )  = 7 /96
तीनों पाईप  खोलने पर टंकी भरने में लगा समय = 96/7 घण्टे = 13/5/7 घण्टे

उदाहरण 4 . दो पाईप एक टंकी को क्रमशः 14 घण्टे तथा 16 घण्टे में भर सकते हैं । इन पाइपों को एक साथ खोल दिया गया परन्तु ज्ञात हुआ कि टंकी की पेंदी में छेद होने के कारण इसे भरने में 32 मिनट अधिक लगते हैं । यदि टंकी भरी हो , तो यह छेद टंकी को कितनी देर में खाली कर देगा ?
हल : दोनों पाइपों का 1 घण्टे का कार्य = ( 1/14 + 1/16 ) = 15 /112
  इन पाइपों द्वारा टंकी भरने में लगा समय = 112 /15 घण्टे 
  दोनों पाइपों तथा छेद द्वारा टंकी भरने में लगा समय = ( 112/15 + 32 /60 )= 8 घण्टे
  छेद द्वारा 1 घण्टे में किया गया कार्य = ( 15/112 -1/8 )= 1/112
  अतः छेद द्वारा भरी टंकी को खाली करने में लिया गया समय = 112 घण्टे

उदाहरण 5 :  दो नल A तथा B एक पानी की टंकी को क्रमशः 20 घन्टे व 15 घन्टे में जा सकते हैं । भरी टंकी को तीसरा नल C , 25 घन्टे में खाली कर सकता है । खाली टंकी में तीनों नलों को खोल दिया जाता है तथा 10 घन्टे बाद C को बन्द कर दिया जाता है । ज्ञात कीजिए कि टंकी भरने में कितना समय लगेगा ?
हल : 10 घण्टे में टंकी का भरा हुआ भाग = 10x ( 1/20 + 1/15 - 1/25 ) = 23/30
शेष भाग = ( 1 - 23/30 )=7/30
( A + B ) द्वारा 1 घन्टे में भरा भाग = ( 1/20 + 1/15 )= 7/60
अधिक भाग , अधिक समय ( सीधा अनुपात )
7/60 : 7/30 ::1:×
अर्थात x =( 7/30 × 1 × 60/7 ) = 2 घण्टे
अतः टंकी भरने में लगा कुल समय = ( 10 + 2 ) घण्टे = 12 घण्टे

उदाहरण 6 . दो नल एक टंकी को क्रमशः 15 मिनट तथा 12 मिनट में भर सकते हैं । तथा तीसरा नल इसे 6 मिनट में खाली कर सकता है । पहले दोनों नल 5 मिनट तक खुले रहते हैं तथा इसके बाद तीसरा नल भी खोल दिया जाता है टंकी कितनी देर में खाली हो जायेगी ?
हल : 5 मिनट में भरा गया टंकी का भाग = 5x ( 1/15+1/12 ) =3/4
  तीनों नलों के खोलने पर 1 मिनट में खाली किया गया भाग =1/6 - ( 1/15 +1/12 ) = 1/60
 
1/60  भाग खाली होने में लगा समय = 1 मिनट
3/4 भाग खाली होने में लगा समय = ( 60x 3/4 )
= 45 मिनट

उदाहरण 7 . दो पाइप a तथा b में एक टंकी को क्रमशः 36 मिनट तथा 45 मिनट में भर देते हैं । पेंदी में लगा तीसरा पाइप C . टंकी को 30 मिनट में खाली कर देता है । a तथा B के खोले जाने के 7 मिनट बाद C खोल दिया जाता है । ज्ञात कीजिए कि  टंकी के भरने में कितना समय लगेगा ?
हल : 7 मिनट में टंकी का भरा भाग = 7x( 1/36 + 1/45 )= 7/20
  शेष भाग = ( 1 - 7/20 ) = 13 /20
  तीनों नलों को इक्ट्ठा खोलने पर 1 मिनट में भरा गया भाग
= ( 1/36 +1/45 - 1/30 ) =1/60 
अधिक भाग , अधिक समय ( सीधा अनुपात )
1/ 60 : 13/20 :: 1: x
अर्थातx =  ( 13/20x1x60 ) = 39 मिनट
टंकी भरने में कुल लगा समय = ( 7 + 39 ) मिनट
= 46 मिनट

वस्तुनिष्ठ  प्रश्नोत्तर -
1 दो नल एक टंकी को क्रमशः 2 घण्टे तथा 3 घण्टे में भर देते हैं । यदि दोनों नल एक साथ खोल दिये जायें तो टंकी भरने में कितना समय लगेगा ?
( a ) 2 घण्टे 30 मिनट      ( b ) 5 घण्टे
( C ) 1 घण्टा 12 मिनट      ( d ) 30 मिनट   ( c )
                                           (आयकर विभाग परीक्षा  )

2 एक नल पानी के एक टब को 6 घण्टे में भर सकता है । टब के साथ लगा हुआ एक दूसरा नल भरे हुए टेब को 10 घण्टे में खाली कर सकता है । यदि दोनों नल एक साथ खाली टब में खोल दिये जायें तो टब भरने में कितना समय लगेगा ?
( a ) 15 घण्टे         ( b ) 10 घण्टे
( c ) 9 घण्टे           ( d ) इनमें से कोई नहीं.  ( a )
                                           ( एन0 डी0 ए0 , परीक्षा )

3 एक पम्प पानी की एक टंकी को 3 घण्टे में भर देता है , परन्तु टंकी की तली में छेद होने के कारण इस टंकी को भरने में 3/1/2 घण्टे लग जाते हैं । भरी टंकी को खाली करने में यह छेद कितना समय लेगा ?
( a ) 10/1/2 घण्टे.        ( b ) 12 घण्टे
( c ) 21 घण्टे                ( d ) 24 घण्टे         ( c )
                                             ( असिस्टैंट ग्रेड , परीक्षा )


4 पानी की भरी 12 बाल्टियों से एक टंकी भरी जा सकती है , जबकि प्रत्येक बाल्टी में 13 . 5 लीटर पानी आता है । इस टंकी को 9 लीटर क्षमता की कितनी बाल्टियाँ भर सकती हैं ?
( a ) 8                         ( b ) 16
( c ) 15                       ( d ) 18          ( d )
                                             ( बैंक पी0 ओ0 ,परीक्षा )

मिश्र समानुपात

मिश्र समानुपात - Compound Proportion

त्रैराशिक विधि : - यदि चार राशियाँ समानुपाती हों तथा इनमें से तीन राशियाँ ज्ञात  हों , तो चौथी राशि को x मानकर समानुपात के गुण का प्रयोग करके इसका मान ज्ञात करते हैं ।
इस विधि को त्रैराशिक विधि कहते हैं ।
जैसे : यदि a : b : : c  : x , तो x = b×c / a

सीधा अनुपात : - यदि दो राशियाँ इस प्रकार हों कि एक राशि के घटने या बढ़ने  पर दूसरी राशि भी क्रमशः घटे तथा बढ़े , तो ये राशियाँ सीधे अनुपात में कहलाती हैं । ऐसे प्रश्नों में चौथी राशि को x मानकर समानुपात की विधि से इसका मान ज्ञात करते है ।

विलोमानुपात : यदि दो राशियाँ इस प्रकार हों कि एक राशि के घटने अथवा बढ़ने  पर दूसरी राशि क्रमशः बढ़े तथा घटे , तो ये राशियाँ विलोमानुपाती कहलाती हैं ।
  ऐसे प्रश्नों में पहली राशियों के विलोमानुपात लेते हैं तथा अज्ञात राशि को चतुर्थानुपाती लेकर इसका पान ज्ञात करते हैं ।
 
मिश्र समानुपात :- ऐसे समानुपात को जिसमें दो से अधिक अनुपात हाँ , मिश्र समानुपात कहते हैं । इस प्रकार के प्रश्नों में त्रैराशिक विधि को बार बार दोहराते हैं ।

साधित उदाहरण:-
उदाहरण 1 . यदि 25 खिलौनों का मूल्य 385 रु0 हो , तो ऐसे 33 खिलौनों का मूल्य क्या होगा ?
हल : अधिक खिलौने , अधिक मूल्य ( सीधा अनुपात ) माना अभीष्ट मूल्य =  × रु0
तब 25 : 33 : : 385 : ×
अर्थात  × = ( 33 × 385 / 25 )
= 508•20
अतः 33 खिलौनों का मूल्य = 508 . 20 रु0

उदाहरण 2 . रेल द्वारा यात्रा करने में यदि 165 किमी0 का किराया 62 . 70 रु0 हो , तो 70 किमी का किराया ज्ञात कीजिए ।
हल : कम दूरी , कम किराया ( सीधा अनुपात )
माना अभीष्ट किराया = × रु0
=  165 : 70 : : 62 . 70 : ×
अर्थात × = ( 70 × 62•70 / 165 )
=  26 . 60 रु0

उदाहरण 3 . यदि 16 व्यक्ति किसी कार्य को 25 दिन में समाप्त कर सकें तो 10 व्यक्ति इस कार्य को कितने दिन में समाप्त कर सकेंगे ?
  हल : कम व्यक्ति , अधिक दिन ( विलोमानुपात )
  माना अभीष्ट दिनों की संख्या = X
  तब 10 : 16 : 25 :X
  अर्थात × = ( 16 × 25 / 10 ) = 40
  अतः अभीष्ट दिनों की संख्या = 40
 
उदाहरण 4 . यदि 35 व्यक्ति 49 मीटर लम्बी दीवार को 3 दिन में बना सकें , तो 20 व्यक्ति 6 दिन में ऐसी कितनी लम्बी दीवार बना सकेंगे ?
हल : हमें दीवार की लम्बाई ज्ञात करनी है , अतः प्रत्येक पद की लम्बाई से तुलना करेंगे ।
कम व्यक्ति , कम लम्बाई ( सीधा अनुपात )
अधिक दिन , अधिक लम्बाई ( सीधा अनुपात )
माना अभीष्ट लम्बाई =  × मीटर
व्यक्ति 35 : 20 :
दिन 3 : 6      
  = 49 ×
   = 35x3 xx = 20 x 6 x 49
   अर्थात × = ( 20×6×49 / 35 ×3 ) = 56
   अतः अभीष्ट लम्बाई = 56 मीटर
  
उदाहरण 5 . यदि 24 मज़दूर प्रतिदिन 7 घण्टे कार्य करके एक खाई को 18 दिन में खोद सकें , तो कितने मज़दूर 9 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके इस खाई को 16 दिन में खोद सकेंगे ?
हल : हमें मजदूरों की संख्या ज्ञात करनी है , अतः प्रत्येक पद की मजदूरों की संख्या से तुलना करेंगे ।
माना मजदूरों की अभीष्ट संख्या = ×
अधिक घण्टे प्रतिदिन कार्य , कम मजदूर ( विलोमानुपात ) कम दिन , अधिक मज़दूर ( विलोमानुपात )
घण्टे ( प्रतिदिन ) 9 : 7 }::
दिन 16 : 18               24 ×
= 9x 16 x x = 7x18x24
  अर्थात = _ ( 7x18x24 / 9 ×16 ) = 21
  अतः मज़दूरों की संख्या = 21
 
उदाहरण 6 . यदि 9 इंजन 8 घण्टे प्रतिदिन कार्यरत रहने पर 24 मीट्रिक टन कोयले की खपत करते हों , तो 8 इंजन प्रतिदिन 13 घण्टे कार्यरत रहकर कितने कोयले की खपत करेंगे जबकि पहली प्रकार के 3 ईजन उतनी खपत करते हों जितनी दूसरी प्रकार के 4 इंजन ?
हल : हमें कोयले की खपत ज्ञात करनी है । अतः हम प्रत्येक पद की तुलना , कोयले की खपत से करेंगे ।
कम इंजन , कम कोयले की खपत ( सीधा अनुपात ) अधिक काम के घण्टे , अधिक कोयले की खपत ( सीधा अनुपात )
यदि पहली प्रकार के 3 इंजन 1 इकाई खपत करें तो प्रत्येक इंजन 1 / 3 इकाई खपत करेगा तथा दूसरी प्रकार का प्रत्येक इंजन 1/4  इकाई खपत करेगा
  खपत की दर कम , कोयले की खपत कम ( सीधा अनुपात )
   माना अभीष्ट खपत = × मीट्रिक टन
   = 9x8x1/3 × ×= 8x13x1/4 ×24
  अर्थात × = 26
  अतः कोयले की अभीष्ट खपत = 26 मीट्रिक टन

प्रश्नोत्तर
1 यदि 349 नारियलों का मूल्य 2181 . 25 रु0 हो , तो 26 दर्जन नारियलों का मूल्य लगभग कितने रुपये होगा ?
( a ) 1500 रु0               ( b ) 2000 रु0
( c ) 1200 रु0               ( d ) 2500 रु0।      ( b )
                                            ( बैंक पी0 ओ0 , परीक्षा )

2 यदि 20 व्यक्ति किसी कार्य को 20 दिन में समाप्त करें तो 25 व्यक्ति इस कार्य को कितने दिन में समाप्त कर सकेंगे ?
( a ) 25                   ( b ) 20
( c ) 16                    ( d ) 12                  ( C )
                                           ( यू ० डी ० सी ० परीक्षा )

3 यदि 10 व्यक्ति एक खेत की फसल को 8 दिन में काट सकें , तो 8 व्यक्ति इस फसल को कितने दिन में काट सकेंगे ?
( a ) 10                       ( b ) 20
( c ) 5                          ( d ) 4               ( a )
                                        ( आयकर , विभाग परीक्षा )

4  यदि 16 व्यक्ति एक फसल को 30 दिन में काट सकें , तो 20 व्यक्ति इस फसल को कितने दिन में काट सकेंगे ?
( a ) 25                          ( b ) 24
( c ) 21/1/3               ( d ) 10/2/3             ( b )
                                             ( क्लर्कस ग्रेड , परीक्षा )

5 यदि 6 व्यक्ति 8 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके 840 रु0 प्रति सप्ताह कमायें , तो 9 व्यक्ति 6 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके प्रति सप्ताह कितने रुपये कमायेंगे ?
( a ) 854 रु0               ( b ) 945 रु0
( c ) 1620 रु0             ( d ) 1680 रु0        ( b )
                                         ( सी0 बी0 आई0 , परीक्षा )

6 यदि 12 बढ़ई 6 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके 24 दिन में 460 कुर्सियाँ बना सकें करके 36 दिन में कितनी कुर्सियाँ बना सकेंगे  तो 18 बढ़ई 8 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके 36 दिन में कितनी कुर्सियाँ बना सकेगे ।
( a ) 1260                 ( b ) 1320
( c ) 920                   ( d ) 1380           ( d )
                                        ( होटल मैनेजमैंट , परीक्षा )

7  यदि 400 व्यक्ति 9 घण्टे प्रतिदिन कार्य करके किसी कार्य का - भाग 10 दिन में समाप्त कर सकें , तो कितने अतिरिक्त व्यक्ति और लगाये जायें , जो 8 घण्टे , कितने आतारक्त व्यापार तय जाय , जो 8 घण्टे 27 प्रतिदिन कार्य करके , शेष कार्य को 20 दिन में समाप्त कर सके ?
( a ) 225                   ( b ) 250
( C ) 275                  ( d ) 325.          ( c )
                                          ( असिस्टंट ग्रेड , परीक्षा )
                              

साधारण ब्याज

साधारण ब्याज -SIMPLE INTEREST TRICK
जब कोई व्यक्ति किसी साहूकार अथवा बैंक से रुपया उधार लेता है तो दूसरे का धन प्रयोग करने के लिए जो उसे अतिरिक्त घन देना होता है , उसे व्याज कहते हैं । उधार लिये गये धन को मूलधन कहते हैं । मूलधन तथा ब्याज के योग को मिश्रधन कहते हैं ।
साधारण ब्याज - जो ब्याज केवल मूलधन पर एक निश्चित अवधि के लिए एक ही दर पर लगाया जाता है , उसे साधारण ब्याज कहते हैं ।
  सूत्र (mathematics formula) -
   ( 1 ) सा0 ब्याज =(मू0×दर×समय )/100
   ( 2 ) मू0 =100×सा0 ब्याज /दर × समय
   ( 3 ) दर = 100×सा0 ब्याज / मू0× समय
   ( 4 ) समय =100×सा0 ब्याज /मू0× दर
 
  साधित उदाहरण -
  उदाहरण 1 . किसी पन का 14 . वार्षिक दर से 3 वर्ष का मिश्रघन 7462 रू0 है । वह धन ज्ञात कीजिए ।
  हल माना मूलधन = ×रू0
   तब ×+×29/2×3×1/100= 7462
    अर्थात ×+87×/200 =7462
    अर्थात 287× = 7462x200
  अर्थात × = 7462×200/287 = 5200
अतः अभीष्ट मूलधन = 5200 रू0

उदाहरण 2 . किस प्रतिशत वार्षिक दर से कोई धन 8 वर्ष में दुगुना हो जायेगा ?
हल : माना मूलधन = × रु0
तथा दर = R % वार्षिक
स्पष्ट है कि x रु0 का 8 वर्ष का सा0 व्याज = ×रू0 
× x8xR /100 = ×
अर्थात R = 100/8 % = 12/1/2 %
अतः अभीष्ट दर = 12/1/2 % वार्षिक

उदाहरण 3 एक व्यापारी ने दो बैंकों से 45000 रु0 का ऋण लिया । एक ऋण के लिए 9% वार्षिक व्याज दिया तथा दूसरे के लिए 16 % वार्षिक । यदि पूरे वर्ष का कुल व्याज 5548 60 दिया गया हो , तो प्रत्येक दर पर लिये गये धन के मान ज्ञात कीजिए ।
हल : माना 9 % वार्षिक दर पर लिया गया धन = × रु0
तब 16 % वार्षिक दर पर लिया गया धन = ( 45000 - × ) रू0
  × x9x1/100 + ( 45000 - × ) x 16x1/100 =5548
   अर्थात 9× + 720000 - 16× = 554800
   अर्थात 7 × = 165200
   ×= 23600
  पहला भाग = 23600 रु0 ,
  दूसरा भाग = ( 45000 - 23600 ) रु0 = 21400 रु0 

उदाहरण 4 . कोई पन किसी निश्चित दर पर 2 वर्ष के लिए साधारण ब्याज पर दिया गया । यदि ब्याज की दर 3 % . अधिक होती तो ब्याज के 108 रु0 अधिक मिलते । मूलधन ज्ञात कीजिए ।
हल : माना मूलधन = × रु0 तथा दर = R % वार्षिक
  तब , x x ( R + 3 ) x2 /100 - X ×R×2 /100= 108 अर्थात 2xR +6×-2 R×/100= 108
  6 × = 108x100 अर्थात × = 1800
   अतः मूलधन = 1800 रु0

उदाहरण 5 . किसी धन पर एक निश्चित दर तथा समय के लिए साधारण ब्याज मूलधन का है । यदि दर तथा समय के संख्यात्मक मान बराबर हों , तो दर तथा समय ज्ञात कीजिए ।
हल : माना मूलधन = ×रु0 , दर = R % वार्षिक तथा समय =  R वर्ष
तब ×× R ×R /100 =9/16 ×
अर्थात R /2= 900/16
अर्थात R = 30 /4 = 15 /2
अतः दर = 7/1/2 %
  वार्षिक तथा समय = 7/1/2 वर्ष

उदाहरण 6 . 3 वर्ष बाद देय 1092 रु0 बराबर बार्षिक किस्तों में चुकाना है । यदि साधारण ब्याज की दर 12% वार्षिक हो , तो प्रत्येक किस्त का मान ज्ञात कीजिए
हल : माना वार्षिक किस्त का मान = × रु0
× रु0 का 2 वर्ष का मिश्रधन + × रू0 का 1 वर्ष का मिश्रधन + × = 1092
X+×2x12 /100 + X +× × 1×12/100+×= 1092  अर्थात  3 x +9×/25 =1092
अर्थात 84×=1092×25 अर्थात ×=325
अतः प्रत्येक किस्त का मान = 325 रु0


वस्तुनिष्ठ प्रश्नोत्तर -
1   गोपाल ने अमोल से 8000 रु0 साधारण ब्याज पर उधार लिये तथा 3 वर्ष बाद उसने मूलधन से 1440 रु0 अधिक का भुगतान किया । ब्याज की वार्षिक दर क्या है ?
( a ) 4 %                 ( b ) 6 %
( c ) 8 %                 ( d ) 18 %        ( b )
                                              ( क्लर्कस ग्रेड , परीक्षा )

2 . 10 . 5 % वार्षिक की दर से किसी धन का एक निश्चित समय का साधारण ब्याज  4635 है । यदि 6 माह का साधारण व्याज 236 . 25 50 हो , तो मुलधन क्या है?
( a ) 2250 रु0         ( b ) 3600 रु0
( c ) 4500 रु0        ( d ) 6000 रु0          ( c )
                                            ( बैंक पी0 ओ0 , परीक्षा )

3 साधारण ब्याज की एक निश्चित दर से कोई धन 10 वर्ष में दुगुना हो जाता है । यह तिगुना कितने वर्ष में होगा ? 
( a ) 15 वर्ष                ( b ) 20 वर्ष
( c ) 25 वर्ष               ( d ) 30 वर्ष     ( b )
                                        ( सी० बी० आई0 , परीक्षा )

4 साधारण ब्याज की कितने प्रतिशत वार्षिक दर से कोई धन 15 वर्ष में चार गुना हो जायेगा ?
( a ) 15 %               ( b ) 17 . 5%
( c ) 20 %               ( d ) 25%           ( c )
                                              ( असिस्टेंट ग्रेड ,परीक्षा )

5 किसी धन को साधारण ब्याज मूलधन का 1/9 है। यदि दर प्रतिशत तथा वर्षों में समय के संख्यात्मक मान समान हों , तो वार्षिक दर है :
( a ) 3/1/3%     ( b ) 5 %
( c ) 6/2/3%      ( d ) 10 %            ( a )
                                          ( आयकर , विभाग परीक्षा )

6 कोई घन साधारण ब्याज  पर 3 वर्ष में 690 रु0 तथा 5 वर्ष में 750 रू0 हो जाता हैं । मूलधन क्या है ?
( a ) 400 रू0        ( b ) 450 रु0
( c ) 500 रु0          ( d ) 600 रु0           ( d )
                                             ( यू0 डी0 सी0 ,परीक्षा )

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